Dê o domínio das funções abaixo e calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio de ,f(x)=x^{3}+\frac{1}{x} e determinar suas assíntotas verticais e horizontais, usando conceitos de domínio de funções racionais (evitar divisão por zero) e definição de assíntota via limites.
Passo 2
Para achar o domínio, observamos que a única operação que pode falhar é a divisão por x. Como não podemos dividir por zero, devemos ter x\neq0. Assim o domínio é
.
Passo 3
Uma assíntota vertical ocorre quando a função tende a
ou
ao se aproximar de um ponto onde não está definida. Aqui o ponto é x=0, então calculemos:
Analisando e
. Como ambos os limites são infinitos, há assíntota vertical em x=0.
Analisando
Passo 4
A assíntota horizontal existe se
for finito. Como
cresce sem limite, temos
e
. Logo não há assíntotas horizontais.
Resposta
Domínio:
.
Assíntota vertical: x=0.
Assíntotas horizontais: nenhuma.
Assíntota vertical: x=0.
Assíntotas horizontais: nenhuma.