Dê o domínio das funções abaixo e calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam:
x^3+1x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio de ,f(x)=x^{3}+\frac{1}{x} e determinar suas assíntotas verticais e horizontais, usando conceitos de domínio de funções racionais (evitar divisão por zero) e definição de assíntota via limites.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que a única operação que pode falhar é a divisão por x. Como não podemos dividir por zero, devemos ter x\neq0. Assim o domínio é Rsetminus0.

Passo 3

Uma assíntota vertical ocorre quando a função tende a +infty ou -infty ao se aproximar de um ponto onde não está definida. Aqui o ponto é x=0, então calculemos:
Analisando limxto0^+(x^3+tfrac1x)=+infty e limxto0^-(x^3+tfrac1x)=-infty. Como ambos os limites são infinitos, há assíntota vertical em x=0.

Passo 4

A assíntota horizontal existe se limxtopminftyf(x) for finito. Como x^3 cresce sem limite, temos limxto+infty(x^3+tfrac1x)=+infty e limxto-infty(x^3+tfrac1x)=-infty. Logo não há assíntotas horizontais.

Resposta

Domínio: Rsetminus0.
Assíntota vertical: x=0.
Assíntotas horizontais: nenhuma.

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