Sabendo que |u|=raiz2,|v|=3 e que u e v formam um ângulo de 45^circ, determinar (2 u-v) cdot(u-2 v). Use cos 45^circ=raiz22.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u e v com lverturvert=raiz2, lvertvrvert=3 e o ângulo entre eles de 45^circ. Pede-se o produto escalar
(2u-v)cdot(u-2v)
O conteúdo que vamos usar é a linearidade do produto escalar e a fórmula
ucdotv=lverturvertlvertvrvertcos45^circ.

Passo 2

Expandimos usando distributividade e comutatividade ( ucdotv=vcdotu):
(2u-v)cdot(u-2v) =2ucdotu-4ucdotv -vcdotu+2vcdotv
Agrupando termos iguais:
2lverturvert^2-5(ucdotv)+2lvertvrvert^2

Passo 3

Calculamos cada parcela:
lverturvert^2=(raiz2)^2=2, lvertvrvert^2=3^2=9,
ucdotv =lverturvertlvertvrvertcos45^circ =raiz2cdot3cdotraiz22 =3
Substituindo:
2cdot2-5cdot3+2cdot9 =4-15+18 =7

Resposta

7

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