Determine a equação do plano alpha que passa pelo ponto (2,3,-1) e é perpendicular à reta r de equações
l x=2+2 s y=-s z=1-s
em que o parâmetro s é real.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano
para (s\in\mathbb{R}].
Conteúdo: equação de um plano a partir de um ponto e de seu vetor normal.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor da reta r pelos coeficientes de s. Logo,
vec v = (2,,-1,,-1)

Passo 3

Como o plano é perpendicular à reta r, seu vetor normal vec n pode ser escolhido igual ao vetor diretor vec v. Assim,
vec n = (2,,-1,,-1)

Passo 4

A equação do plano com normal vec n=(a,b,c) que passa por P0=(x0,y0,z0) é
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
Substituindo a=2, b=-1, c=-1 e P0=(2,3,-1), obtemos
2(x-2)-1,(y-3)-1,(z+1)=0

Passo 5

Expandindo a expressão:
2x-4 -y+3 -z-1 = 0 Longrightarrow 2x - y - z -2 = 0

Resposta

A equação do plano alpha é
2x - y - z -2 = 0,
ou equivalentemente
2x - y - z = 2

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