Nos Problemas 25-28, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros, sujeita à condição inicial y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.
4 y^{\prime \prime}-y=x e^{x / 2}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos de dados.
  • Pede resolver a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros, sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.
  • A equação dada é
4y''-y = x e^{x/2}.
  • Lista de informações relevantes extraídas do enunciado:
    • equação diferencial linear de segunda ordem, não-homogênea;
    • condição inicial em x=0: y(0)=1 e y'(0)=0;
    • o enunciado exige uso do método da variação dos parâmetros (portanto não usar outro método principal).

Passo 2

Colocar em forma padrão e encontrar a equação homogênea associada.
  • Primeiro divido por 4 para deixar o coeficiente de y'' igual a 1:
y'' - \frac{1}{4}y = \frac{1}{4} x e^{x/2}.
  • A equação homogênea associada é
y'' - \frac{1}{4}y = 0.
  • Para resolver a homogênea, procuro soluções da forma y=e^{rx}. O polinômio característico é
r^2 - \frac{1}{4} = 0.
  • Suas raízes são r=\pm \tfrac{1}{2}. Logo duas soluções fundamentais da homogênea são
y_1(x)=e^{x/2},\qquad y_2(x)=e^{-x/2}.

Passo 3

Princípio da variação dos parâmetros (explicação didática e montagem do sistema).
  • Ideia: procurar uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1,u_2 são funções a determinar. Isso permite “variar” as constantes da solução geral da homogênea.
  • Para tornar o sistema determinável impomos a condição auxiliar clássica
u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0.
  • A segunda equação vem do pedido de que y_p satisfaça a equação original. Aplicando a derivação e usando a condição auxiliar obtemos
u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=g(x),
onde g(x) é o lado direito da equação padrão y''+\dots = g(x). Aqui, após dividir por 4, temos
g(x)=\frac{1}{4}x e^{x/2}.
  • Assim formamos o sistema linear para u_1' e u_2':
\begin{cases} u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0,\\[4pt] u_1' y_1' + u_2' y_2' = \dfrac{1}{4} x e^{x/2}. \end{cases}]

Passo 4

Escrever o sistema com as soluções explícitas e resolver para [u_1’) e u_2'.
  • Substituindo y_1=e^{x/2}, y_2=e^{-x/2}, y_1'=\tfrac{1}{2}e^{x/2}, y_2'=-\tfrac{1}{2}e^{-x/2} no sistema, obtemos
\begin{cases} u_1' e^{x/2} + u_2' e^{-x/2} = 0,\\[6pt] u_1' \dfrac{1}{2}e^{x/2} + u_2' \left(-\dfrac{1}{2}e^{-x/2}\right) = \dfrac{1}{4} x e^{x/2}. \end{cases}
  • Multiplico a segunda equação por 2\] para simplificar: \[u_1' e^{x/2} - u_2' e^{-x/2} = \dfrac{1}{2} x e^{x/2}.\] - Agora somando as duas equações (a primeira com a última) elimina \(u_2':
2u_1' e^{x/2} = \dfrac{1}{2} x e^{x/2}.
  • Daí
u_1'(x)=\dfrac{1}{4}x.
  • Usando a primeira equação para obter u_2':
u_2' e^{-x/2} = -u_1' e^{x/2} = -\dfrac{1}{4}x e^{x/2},
logo
u_2'(x) = -\dfrac{1}{4}x e^{x}.]

Passo 5

Integrar u_1' e u_2' para obter u_1 e u_2 (escolhendo as constantes convenientemente).
  • Integro u_1':
u_1(x) = \int \dfrac{1}{4}x\,dx = \dfrac{1}{8}x^2 + C_1.
  • Integro u_2':
u_2(x) = \int -\dfrac{1}{4}x e^{x}\,dx.
Para calcular \int x e^{x}\,dx uso integração por partes: \int x e^{x}dx = x e^{x} - e^{x} + C = (x-1)e^{x}+C. Portanto
u_2(x) = -\dfrac{1}{4}(x-1)e^{x} + C_2.
  • Observação importante sobre as constantes C_1,C_2: na variação de parâmetros podemos escolher C_1=C_2=0 porque quaisquer constantes multiplicadas por y_1,y_2 ficam incorporadas na solução homogênea geral. Para obter uma solução particular escolhemos as primitivas sem constantes de integração. Assim tomamos
u_1(x)=\dfrac{1}{8}x^2,\qquad u_2(x)=-\dfrac{1}{4}(x-1)e^{x}.

Passo 6

Construir a solução particular y_p e a solução geral.
  • A solução particular é
y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2.
Substituindo u_1,u_2,y_1,y_2:
y_p(x)=\dfrac{1}{8}x^2 e^{x/2} - \dfrac{1}{4}(x-1)e^{x}\cdot e^{-x/2}.
Como e^{x}\cdot e^{-x/2}=e^{x/2}, obtemos
y_p(x)=\left(\dfrac{1}{8}x^2 - \dfrac{1}{4}(x-1)\right)e^{x/2}.
  • Simplifico o coeficiente:
\dfrac{1}{8}x^2 - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}\bigl(x^2-2x+2\bigr).
Logo
y_p(x)=\dfrac{1}{8}\bigl(x^2-2x+2\bigr)e^{x/2}.
  • A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1 e^{x/2} + C_2 e^{-x/2} + \dfrac{1}{8}\bigl(x^2-2x+2\bigr)e^{x/2}.
(Aqui C_1,C_2 são constantes arbitrárias — agora usaremos as condições iniciais para determiná‑las.)

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(0)=1 para obter uma equação em C_1,C_2.
  • Calculo y(0). Note que e^{0}=1 e x^2-2x+2 em x=0 vale 2. Assim
y(0)=C_1 + C_2 + \dfrac{1}{8}\cdot 2 = C_1 + C_2 + \dfrac{1}{4}.
  • A condição y(0)=1
C_1 + C_2 + \dfrac{1}{4} = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = \dfrac{3}{4}.

Passo 8

Aplicar a condição inicial y'(0)=0. Primeiro calcular y'(x) explicitamente e depois avaliar em x=0.
  • Derivo termo a termo:
    • \dfrac{d}{dx}\bigl(C_1 e^{x/2}\bigr) = \dfrac{1}{2}C_1 e^{x/2}.
    • \dfrac{d}{dx}\bigl(C_2 e^{-x/2}\bigr) = -\dfrac{1}{2}C_2 e^{-x/2}.
    • Para a parte particular uso produto: para h(x)=\dfrac{1}{8}(x^2-2x+2)e^{x/2},
h'(x)=\dfrac{1}{8}\Bigl((2x-2)e^{x/2} + (x^2-2x+2)\cdot \tfrac{1}{2}e^{x/2}\Bigr).
  • Agora avalio em x=0. Em x=0 temos e^{0}=1, 2x-2=-2, e x^2-2x+2=2. Logo
h'(0)=\dfrac{1}{8}\bigl(-2 + 2\cdot\tfrac{1}{2}\bigr)=\dfrac{1}{8}(-2+1)= -\dfrac{1}{8}.
  • Então
y'(0)=\tfrac{1}{2}C_1 - \tfrac{1}{2}C_2 - \tfrac{1}{8}.
  • A condição y'(0)=0
\tfrac{1}{2}C_1 - \tfrac{1}{2}C_2 - \tfrac{1}{8}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 - C_2 = \dfrac{1}{4}.

Passo 9

Resolver o sistema para [C_1) e C_2.
  • Temos o sistema linear:
\begin{cases} C_1 + C_2 = \dfrac{3}{4},\\[4pt] C_1 - C_2 = \dfrac{1}{4}. \end{cases}
  • Somando as equações: 2C_1 = 1\] então \(C_1 = \dfrac{1}{2}.
  • Substituindo em C_1 + C_2 = \dfrac{3}{4} obtemos C_2 = \dfrac{1}{4}.]

Passo 10

Escrever a solução final com as constantes determinadas e, quando possível, simplificar.
  • Substituindo C_1=\tfrac{1}{2} e C_2=\tfrac{1}{4} em
y(x)=C_1 e^{x/2} + C_2 e^{-x/2} + \dfrac{1}{8}\bigl(x^2-2x+2\bigr)e^{x/2},
obtém-se
y(x)=\dfrac{1}{2}e^{x/2} + \dfrac{1}{4}e^{-x/2} + \dfrac{1}{8}\bigl(x^2-2x+2\bigr)e^{x/2}.
  • Agrupando os termos em e^{x/2}:
y(x)=\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}(x^2-2x+2)\right)e^{x/2} + \dfrac{1}{4}e^{-x/2}.
  • Simplificando o coeficiente de e^{x/2}:
\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}(x^2-2x+2) = \dfrac{1}{8}\bigl(x^2-2x+6\bigr).
  • Portanto a solução final simplificada é
y(x)=\dfrac{1}{8}\bigl(x^2-2x+6\bigr)e^{x/2} + \dfrac{1}{4}e^{-x/2}.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{8}\bigl(x^{2}-2x+6\bigr)e^{x/2}+\dfrac{1}{4}e^{-x/2}

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