Nos Problemas 25-28, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros, sujeita à condição inicial y(0)=1, y^{\prime}(0)=0. 4 y^{\prime \prime}-y=x e^{x / 2}
Passo 1
O que o problema pede e o que temos de dados.
Pede resolver a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros, sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.
A equação dada é
4y''-y = x e^{x/2}.
Lista de informações relevantes extraídas do enunciado:
equação diferencial linear de segunda ordem, não-homogênea;
condição inicial em x=0: y(0)=1 e y'(0)=0;
o enunciado exige uso do método da variação dos parâmetros (portanto não usar outro método principal).
Passo 2
Colocar em forma padrão e encontrar a equação homogênea associada.
Primeiro divido por 4 para deixar o coeficiente de y'' igual a 1:
y'' - \frac{1}{4}y = \frac{1}{4} x e^{x/2}.
A equação homogênea associada é
y'' - \frac{1}{4}y = 0.
Para resolver a homogênea, procuro soluções da forma y=e^{rx}. O polinômio característico é
r^2 - \frac{1}{4} = 0.
Suas raízes são r=\pm \tfrac{1}{2}. Logo duas soluções fundamentais da homogênea são
y_1(x)=e^{x/2},\qquad y_2(x)=e^{-x/2}.
Passo 3
Princípio da variação dos parâmetros (explicação didática e montagem do sistema).
Ideia: procurar uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1,u_2 são funções a determinar. Isso permite “variar” as constantes da solução geral da homogênea.
Para tornar o sistema determinável impomos a condição auxiliar clássica
u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0.
A segunda equação vem do pedido de que y_p satisfaça a equação original. Aplicando a derivação e usando a condição auxiliar obtemos
u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=g(x),
onde g(x) é o lado direito da equação padrão y''+\dots = g(x). Aqui, após dividir por 4, temos
Multiplico a segunda equação por 2\] para simplificar:
\[u_1' e^{x/2} - u_2' e^{-x/2} = \dfrac{1}{2} x e^{x/2}.\]
- Agora somando as duas equações (a primeira com a última) elimina \(u_2':
Para calcular \int x e^{x}\,dx uso integração por partes: \int x e^{x}dx = x e^{x} - e^{x} + C = (x-1)e^{x}+C. Portanto
u_2(x) = -\dfrac{1}{4}(x-1)e^{x} + C_2.
Observação importante sobre as constantes C_1,C_2: na variação de parâmetros podemos escolher C_1=C_2=0 porque quaisquer constantes multiplicadas por y_1,y_2 ficam incorporadas na solução homogênea geral. Para obter uma solução particular escolhemos as primitivas sem constantes de integração. Assim tomamos