Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida. y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}=x^{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}-6y^{\prime\prime}=x^{2}
e pede a solução geral, obtida pelo método da variação dos parâmetros, e um intervalo onde a solução geral seja válida.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A equação é de ordem 3.
Coeficientes são constantes (coeficiente de y^{\prime\prime\prime} é 1, de y^{\prime\prime} é -6, e não há termos em y^\prime nem em y).
Termo não homogêneo (forçante) é x^{2}.
Deve ser usado o método da variação dos parâmetros (portanto procuraremos uma solução particular na forma y_p=u_1(x)y_1+u_2(x)y_2+u_3(x)y_3, onde y_1,y_2,y_3 são soluções fundamentais da homogênea).
Passo 2
Primeiro obtemos as soluções da equação homogênea associada:
As funções u_{1}',u_{2}',u_{3}'\) satisfazem o sistema linear (condições padrão de variação dos parâmetros):
\[\begin{cases} u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)+u_{3}'(x)y_{3}(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)+u_{3}'(x)y_{3}'(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}''(x)+u_{2}'(x)y_{2}''(x)+u_{3}'(x)y_{3}''(x)=x^{2}, \end{cases}
onde usamos que o lado direito da equação original é x^{2}\] (e o coeficiente de \(y^{\prime\prime\prime} é 1, então não há divisão adicional).
Agora integramos u_{1}',u_{2}',u_{3}' para obter u_{1},u_{2},u_{3}. Constantes de integração podem ser tomadas nulas porque qualquer constante adicionada a u_{i} multiplica y_{i} e fica absorvida na solução homogênea.
Para a integral \int x^{2}e^{-6x}\,dx usa-se integração por partes (ou a fórmula conhecida \int x^{2}e^{ax}dx=e^{ax}\big(\dfrac{x^{2}}{a}-\dfrac{2x}{a^{2}}+\dfrac{2}{a^{3}}\big)). Tomando a=-6 obtemos
Como o Wronskiano é não nulo para todo x, a família de soluções é válida em todo o intervalo (-\infty,\infty). Portanto a solução geral acima vale para todo x\in\mathbb{R}.]