Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}-6y^{\prime\prime}=x^{2}
e pede a solução geral, obtida pelo método da variação dos parâmetros, e um intervalo onde a solução geral seja válida.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação é de ordem 3.
  • Coeficientes são constantes (coeficiente de y^{\prime\prime\prime} é 1, de y^{\prime\prime} é -6, e não há termos em y^\prime nem em y).
  • Termo não homogêneo (forçante) é x^{2}.
  • Deve ser usado o método da variação dos parâmetros (portanto procuraremos uma solução particular na forma y_p=u_1(x)y_1+u_2(x)y_2+u_3(x)y_3, onde y_1,y_2,y_3 são soluções fundamentais da homogênea).

Passo 2

Primeiro obtemos as soluções da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime\prime}-6y^{\prime\prime}=0.
Formamos a equação característica:
r^{3}-6r^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}(r-6)=0.
As raízes são r=0 (com multiplicidade 2) e r=6. Portanto uma base de soluções da homogênea é
y_{1}(x)=1,\qquad y_{2}(x)=x,\qquad y_{3}(x)=e^{6x}.
A solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{6x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos variação dos parâmetros. Procuramos uma solução particular da forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)+u_{3}(x)y_{3}(x).
As funções u_{1}',u_{2}',u_{3}'\) satisfazem o sistema linear (condições padrão de variação dos parâmetros): \[\begin{cases} u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)+u_{3}'(x)y_{3}(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)+u_{3}'(x)y_{3}'(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}''(x)+u_{2}'(x)y_{2}''(x)+u_{3}'(x)y_{3}''(x)=x^{2}, \end{cases}
onde usamos que o lado direito da equação original é x^{2}\] (e o coeficiente de \(y^{\prime\prime\prime} é 1, então não há divisão adicional).
Substituímos y_{1},y_{2},y_{3} e suas derivadas:
y_{1}=1,\quad y_{1}'=0,\quad y_{1}''=0;
y_{2}=x,\quad y_{2}'=1,\quad y_{2}''=0;
y_{3}=e^{6x},\quad y_{3}'=6e^{6x},\quad y_{3}''=36e^{6x}.
O sistema fica, em forma matricial:
\begin{pmatrix} 1 & x & e^{6x}\\[4pt] 0 & 1 & 6e^{6x}\\[4pt] 0 & 0 & 36e^{6x} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_{1}'\\[4pt]u_{2}'\\[4pt]u_{3}'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]x^{2}\end{pmatrix}.
Note que a matriz é triangular superior, o que facilita a solução por substituição direta.]

Passo 4

Resolvendo por substituição (da terceira linha para cima):
Terceira linha:
36e^{6x}\,u_{3}'(x)=x^{2}\quad\Longrightarrow\quad u_{3}'(x)=\frac{x^{2}}{36}e^{-6x}.
Segunda linha:
u_{2}'(x)+6e^{6x}\,u_{3}'(x)=0
então
u_{2}'(x)=-6e^{6x}\,u_{3}'(x)=-6e^{6x}\cdot\frac{x^{2}}{36}e^{-6x}=-\frac{1}{6}x^{2}.
Primeira linha:
u_{1}'(x)+x\,u_{2}'(x)+e^{6x}\,u_{3}'(x)=0
substituindo u_{2}' e u_{3}':
u_{1}'(x)=-x\cdot\Big(-\frac{1}{6}x^{2}\Big)-e^{6x}\cdot\frac{x^{2}}{36}e^{-6x} =\frac{1}{6}x^{3}-\frac{1}{36}x^{2}.
Para ficar mais compacto:
u_{1}'(x)=\frac{6x^{3}-x^{2}}{36}.

Passo 5

Agora integramos u_{1}',u_{2}',u_{3}' para obter u_{1},u_{2},u_{3}. Constantes de integração podem ser tomadas nulas porque qualquer constante adicionada a u_{i} multiplica y_{i} e fica absorvida na solução homogênea.
Integrando u_{2}':
u_{2}(x)=\int -\frac{1}{6}x^{2}\,dx=-\frac{1}{6}\cdot\frac{x^{3}}{3}=-\frac{x^{3}}{18}.
Integrando u_{1}':
u_{1}(x)=\int\Big(\frac{1}{6}x^{3}-\frac{1}{36}x^{2}\Big)\,dx =\frac{1}{6}\cdot\frac{x^{4}}{4}-\frac{1}{36}\cdot\frac{x^{3}}{3} =\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{3}}{108}.
Integrando u_{3}':
u_{3}(x)=\int\frac{x^{2}}{36}e^{-6x}\,dx=\frac{1}{36}\int x^{2}e^{-6x}\,dx.
Para a integral \int x^{2}e^{-6x}\,dx usa-se integração por partes (ou a fórmula conhecida \int x^{2}e^{ax}dx=e^{ax}\big(\dfrac{x^{2}}{a}-\dfrac{2x}{a^{2}}+\dfrac{2}{a^{3}}\big)). Tomando a=-6 obtemos
\int x^{2}e^{-6x}\,dx=e^{-6x}\Big(-\frac{x^{2}}{6}-\frac{x}{18}-\frac{1}{108}\Big)+C.
Multiplicando por \dfrac{1}{36} e desprezando a constante de integração:
u_{3}(x)=e^{-6x}\Big(-\frac{x^{2}}{216}-\frac{x}{648}-\frac{1}{3888}\Big).

Passo 6

Agora montamos y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}+u_{3}y_{3}.
Substituindo:
y_{p}(x)=\Big(\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{3}}{108}\Big)\cdot 1 +\Big(-\frac{x^{3}}{18}\Big)\cdot x +e^{6x}\cdot e^{-6x}\Big(-\frac{x^{2}}{216}-\frac{x}{648}-\frac{1}{3888}\Big).
Simplificando e^{6x}e^{-6x}=1:
y_{p}(x)=\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{3}}{108}-\frac{x^{4}}{18}-\frac{x^{2}}{216}-\frac{x}{648}-\frac{1}{3888}.
Agora somamos os termos semelhantes (primeiro os de maior grau):
  • Coeficiente de x^{4}: \dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{18}=\dfrac{3-4}{72}=-\dfrac{1}{72}.
  • Coeficiente de x^{3}: -\dfrac{1}{108}.
  • Coeficiente de x^{2}: -\dfrac{1}{216}.
  • Coeficiente de x: -\dfrac{1}{648}.
  • Constante: -\dfrac{1}{3888}.
Portanto
y_{p}(x)=-\frac{x^{4}}{72}-\frac{x^{3}}{108}-\frac{x^{2}}{216}-\frac{x}{648}-\frac{1}{3888}.

Passo 7

Fazemos uma verificação rápida para garantir que y_{p} é, de fato, uma solução particular. Calculamos derivadas (mostrando os resultados essenciais):
y_{p}'(x)=-\frac{1}{18}x^{3}-\frac{1}{36}x^{2}-\frac{1}{108}x-\frac{1}{648},
y_{p}''(x)=-\frac{1}{6}x^{2}-\frac{1}{18}x-\frac{1}{108},
y_{p}'''(x)=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{18}.
Então
y_{p}'''(x)-6y_{p}''(x)=\Big(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{18}\Big)-6\Big(-\frac{1}{6}x^{2}-\frac{1}{18}x-\frac{1}{108}\Big) =x^{2}.
As cancelas e somas levam exatamente a x^{2}, confirmando que y_{p} é uma solução particular correta.

Passo 8

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) =C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{6x} -\frac{x^{4}}{72}-\frac{x^{3}}{108}-\frac{x^{2}}{216}-\frac{x}{648}-\frac{1}{3888}.
Intervalo de validade: o conjunto de soluções fundamentais tem Wronskiano
W(x)=\det \begin{pmatrix} 1 & x & e^{6x}\\[4pt] 0 & 1 & 6e^{6x}\\[4pt] 0 & 0 & 36e^{6x} \end{pmatrix}=36e^{6x}\neq 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Como o Wronskiano é não nulo para todo x, a família de soluções é válida em todo o intervalo (-\infty,\infty). Portanto a solução geral acima vale para todo x\in\mathbb{R}.]

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{6x}-\dfrac{x^{4}}{72}-\dfrac{x^{3}}{108}-\dfrac{x^{2}}{216}-\dfrac{x}{648}-\dfrac{1}{3888},\quad x\in(-\infty,\infty)

Exercícios relacionados