Sabendo-se que a função diferenciável z=f(x, y) é definida pela equação abaixo implicitamente, determine \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} :
x y z^{2}+x e^{y+2 z}=x z

Passo 1

O enunciado dá implicitamente a função diferenciável z=f(x,y) pela equação
x y z^{2}+x e^{y+2 z}=x z.
Pede-se para determinar \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes:
  • A equação relaciona x, y e z e define z como função de x e y.
  • A função é diferenciável, então podemos aplicar diferenciação implícita e as regras usuais (regra do produto, regra da cadeia).
  • Não há valores numéricos específicos; queremos as expressões simbólicas de \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Estratégia geral (sem calcular ainda): vamos tratar a equação como
F(x,y,z)=x y z^{2}+x e^{y+2 z}-x z=0,
onde z depende de x e y. Para obter \frac{\partial z}{\partial x} fixamos y e diferenciamos ambos os lados em relação a x; para \frac{\partial z}{\partial y} fixamos x e diferenciamos em relação a y. Em cada diferenciação usaremos:
  • Regra do produto: \frac{d}{dx}(u\cdot v)=u'\,v+u\,v'.
  • Regra da cadeia: se z=z(x,y), \frac{d}{dx}g(z)=g'(z)\,\frac{\partial z}{\partial x}.

Passo 3

Vou calcular \frac{\partial}{\partial x} da equação mantendo y fixo. Começo diferenciando termo a termo.
Termo 1: \;x y z^{2}.
  • Aqui y é constante (ao derivar em relação a x). Use regra do produto entre x e y z^{2}:
\frac{\partial}{\partial x}(x y z^{2}) = 1\cdot (y z^{2}) + x\cdot \frac{\partial}{\partial x}(y z^{2}).
  • Como y é constante, \frac{\partial}{\partial x}(y z^{2})=y\cdot 2z\cdot \frac{\partial z}{\partial x} (regra da cadeia).
    Logo
\frac{\partial}{\partial x}(x y z^{2}) = y z^{2} + 2 x y z \frac{\partial z}{\partial x}.

Passo 4

Termo 2: \;x e^{y+2 z}.
  • Novamente produto entre x e e^{y+2z}:
\frac{\partial}{\partial x}(x e^{y+2 z}) = 1\cdot e^{y+2 z} + x\cdot \frac{\partial}{\partial x}(e^{y+2 z}).
  • Para \frac{\partial}{\partial x}(e^{y+2 z}) usamos regra da cadeia: derivada do exponencial é o próprio exponencial multiplicado pela derivada do expoente. O expoente é y+2z; derivando em relação a x (com y fixo) dá 0+2\frac{\partial z}{\partial x}. Assim
\frac{\partial}{\partial x}(e^{y+2 z}) = e^{y+2 z}\cdot 2\frac{\partial z}{\partial x}.
  • Portanto
\frac{\partial}{\partial x}(x e^{y+2 z}) = e^{y+2 z} + 2 x e^{y+2 z}\frac{\partial z}{\partial x}.

Passo 5

Termo do lado direito: \;x z.
  • Produto entre x e z(x,y):
\frac{\partial}{\partial x}(x z) = 1\cdot z + x\cdot \frac{\partial z}{\partial x} = z + x\frac{\partial z}{\partial x}.
Agora somamos as derivadas dos termos do lado esquerdo e igualamos à derivada do lado direito (derivada de zero é zero). Assim juntando tudo:
y z^{2} + 2 x y z \frac{\partial z}{\partial x} + e^{y+2 z} + 2 x e^{y+2 z}\frac{\partial z}{\partial x} = z + x\frac{\partial z}{\partial x}.

Passo 6

Isolamos os termos que contêm \frac{\partial z}{\partial x} num lado e os restantes no outro lado.
Colocando todos os termos com \frac{\partial z}{\partial x} na esquerda:
2 x y z \frac{\partial z}{\partial x} + 2 x e^{y+2 z}\frac{\partial z}{\partial x} - x\frac{\partial z}{\partial x} = z - y z^{2} - e^{y+2 z}.
Fatorando \frac{\partial z}{\partial x} na esquerda:
\left(2 x y z + 2 x e^{y+2 z} - x\right)\frac{\partial z}{\partial x} = z - y z^{2} - e^{y+2 z}.

Passo 7

Agora resolvemos para \frac{\partial z}{\partial x} dividindo pelo coeficiente (assumindo que o coeficiente não é zero no ponto considerado):
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{z - y z^{2} - e^{y+2 z}}{2 x y z + 2 x e^{y+2 z} - x}.
Podemos, se quisermos, fatorar x no denominador:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{z - y z^{2} - e^{y+2 z}}{x\bigl(2 y z + 2 e^{y+2 z} - 1\bigr)}.
(essa forma é útil para simplificar caso x\neq 0.)

Passo 8

Agora calculamos \frac{\partial z}{\partial y}: diferenciamos a equação em relação a y, mantendo x constante.
Termo 1: \;x y z^{2}.
  • Produto entre y e x z^{2}, com x fixo:
\frac{\partial}{\partial y}(x y z^{2}) = x\cdot z^{2} + x y\cdot 2 z\frac{\partial z}{\partial y} = x z^{2} + 2 x y z \frac{\partial z}{\partial y}.
Termo 2: \;x e^{y+2 z}.
  • Aqui x é constante multiplicando e^{y+2z}. Derivada de e^{y+2z} em relação a y é e^{y+2z}\cdot(1+2\frac{\partial z}{\partial y}). Logo
\frac{\partial}{\partial y}(x e^{y+2 z}) = x e^{y+2 z} + 2 x e^{y+2 z}\frac{\partial z}{\partial y}.
Lado direito: \;x z com x fixo dá
\frac{\partial}{\partial y}(x z) = x\frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 9

Somando os termos do lado esquerdo e igualando ao direito:
x z^{2} + 2 x y z \frac{\partial z}{\partial y} + x e^{y+2 z} + 2 x e^{y+2 z}\frac{\partial z}{\partial y} = x\frac{\partial z}{\partial y}.
Isolando os termos com \frac{\partial z}{\partial y}:
2 x y z \frac{\partial z}{\partial y} + 2 x e^{y+2 z}\frac{\partial z}{\partial y} - x\frac{\partial z}{\partial y} = -x z^{2} - x e^{y+2 z}.
Fatorando \frac{\partial z}{\partial y}:
\left(2 x y z + 2 x e^{y+2 z} - x\right)\frac{\partial z}{\partial y} = -x z^{2} - x e^{y+2 z}.

Passo 10

Resolvendo para \frac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-x z^{2} - x e^{y+2 z}}{2 x y z + 2 x e^{y+2 z} - x}.
Podemos fatorar x em numerador e denominador (se x\neq 0) e simplificar:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-(z^{2} + e^{y+2 z})}{2 y z + 2 e^{y+2 z} - 1}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{z - y z^{2} - e^{y+2 z}}{2 x y z + 2 x e^{y+2 z} - x}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-x z^{2} - x e^{y+2 z}}{2 x y z + 2 x e^{y+2 z} - x}

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