Sabendo-se que a função diferenciável
é definida pela equação abaixo implicitamente, determine
e
:
Passo 1
O enunciado dá implicitamente a função diferenciável
pela equação
Pede-se para determinar
e
.
Informações relevantes:
- A equação relaciona
, e e define como função de e . - A função é diferenciável, então podemos aplicar diferenciação implícita e as regras usuais (regra do produto, regra da cadeia).
- Não há valores numéricos específicos; queremos as expressões simbólicas de
e .
Passo 2
Estratégia geral (sem calcular ainda): vamos tratar a equação como
onde
depende de
e
. Para obter
fixamos
e diferenciamos ambos os lados em relação a
; para
fixamos
e diferenciamos em relação a
. Em cada diferenciação usaremos:
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia: se
, .
Passo 3
Vou calcular
da equação mantendo
fixo. Começo diferenciando termo a termo.
Termo 1:
.
- Aqui
é constante (ao derivar em relação a ). Use regra do produto entre e :
- Como
é constante, (regra da cadeia).
Logo
Passo 4
Termo 2:
.
- Novamente produto entre
e :
- Para
usamos regra da cadeia: derivada do exponencial é o próprio exponencial multiplicado pela derivada do expoente. O expoente é ; derivando em relação a (com fixo) dá . Assim
- Portanto
Passo 5
Termo do lado direito:
.
- Produto entre
e :
Agora somamos as derivadas dos termos do lado esquerdo e igualamos à derivada do lado direito (derivada de zero é zero). Assim juntando tudo:
Passo 6
Isolamos os termos que contêm
num lado e os restantes no outro lado.
Colocando todos os termos com
na esquerda:
Fatorando
na esquerda:
Passo 7
Agora resolvemos para
dividindo pelo coeficiente (assumindo que o coeficiente não é zero no ponto considerado):
Podemos, se quisermos, fatorar
no denominador:
(essa forma é útil para simplificar caso
.)
Passo 8
Agora calculamos
: diferenciamos a equação em relação a
, mantendo
constante.
Termo 1:
.
- Produto entre
e , com fixo:
Termo 2:
.
- Aqui
é constante multiplicando . Derivada de em relação a é . Logo
Lado direito:
com
fixo dá
Passo 9
Somando os termos do lado esquerdo e igualando ao direito:
Isolando os termos com
:
Fatorando
:
Passo 10
Resolvendo para
:
Podemos fatorar
em numerador e denominador (se
) e simplificar: