Sabendo que g(x)=3 x+4 e g(f(x))=3 x^{2}-6 x+19, determine:
(a) f(0)
(b) f(g(x))

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo:
  • Informação 1: g(x)=3x+4.
  • Informação 2: g(f(x))=3x^{2}-6x+19.
Perguntas:
(a) Determine f(0).
(b) Determine f(g(x)).

Passo 2

Entendendo como usar a composição: quando o enunciado diz g(f(x)), significa que primeiro aplicamos f em x e depois aplicamos g ao resultado. Como g é uma função linear simples, g(y)=3y+4 para qualquer entrada y. Portanto, ao aplicar g sobre f(x) obtemos
g(f(x))=3\cdot f(x)+4.
Isto é uma relação direta entre g(f(x)) e f(x) que vamos usar para encontrar f(x).

Passo 3

Usando a igualdade fornecida: sabemos que
g(f(x))=3x^{2}-6x+19.
Mas também sabemos que g(f(x))=3\cdot f(x)+4. Igualando as duas expressões temos
3\cdot f(x)+4=3x^{2}-6x+19.
Agora isolamos f(x): subtraímos 4 dos dois lados,
3\cdot f(x)=3x^{2}-6x+19-4,
3\cdot f(x)=3x^{2}-6x+15.
Agora dividimos ambos os lados por 3 para obter f(x):
f(x)=\frac{3x^{2}-6x+15}{3}=x^{2}-2x+5.
Pronto — encontramos explicitamente f(x). Vou explicar passo a passo as operações: tirar o +4 é uma subtração simples; dividir por 3 distribui o denominador em cada termo do polinômio, por isso 3x^{2}/3=x^{2}, -6x/3=-2x e 15/3=5.

Passo 4

Agora respondendo (a): calcular f(0). Substituímos x=0 na expressão que acabamos de obter:
f(0)=0^{2}-2\cdot 0+5=0-0+5=5.
Expliquei cada termo: 0^{2}=0, -2\cdot 0=0, sobra 5.

Passo 5

Agora respondendo (b): calcular f(g(x)). Primeiro lembramos que g(x)=3x+4. Então substituímos g(x) no lugar de x em f:
f(g(x)) = \bigl(g(x)\bigr)^{2} -2\bigl(g(x)\bigr) +5.
Agora substituímos g(x)=3x+4 e expandimos passo a passo:
f(g(x)) = (3x+4)^{2} -2(3x+4) +5.
Calculemos (3x+4)^{2}:
(3x+4)^{2} = 9x^{2}+24x+16.
Calculemos -2(3x+4):
-2(3x+4) = -6x-8.
Juntando tudo:
f(g(x)) = \bigl(9x^{2}+24x+16\bigr) + \bigl(-6x-8\bigr) +5.
Agora somamos os termos semelhantes: coeficiente de x^{2} é 9; coeficiente de x é 24-6=18; termos constantes 16-8+5=13. Portanto
f(g(x))=9x^{2}+18x+13.

Passo 6

(Vou fazer uma checagem rápida para você ficar tranquilo: substituindo f(x)=x^{2}-2x+5 em g(f(x)) deve voltar a expressão dada no enunciado. Calculando g(f(x))=3f(x)+4=3(x^{2}-2x+5)+4=3x^{2}-6x+15+4=3x^{2}-6x+19, que é exatamente o que foi informado. Tudo consistente.)

Resposta

(a) 5
(b) 9x^{2}+18x+13

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