Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercício 5
Diâmetro (m) = 0,14
Velocidade (m/s)= 0,67
Densidade kg / m^{3}= 965
Tensão inicial Pa= 3,29
K Pas^n = 2,2
n = 0,51

Passo 1

O enunciado pede para calcular o escoamento de um líquido Herschel–Bulkley nas condições dadas. Dados fornecidos (vou listá‑los exatamente como você passou):
D=0,14\\ \mathrm{m}
V=0,67\\ \mathrm{m/s} (velocidade média)
\rho=965\\ \mathrm{kg/m^{3}}
\tau_{0}=3,29\\ \mathrm{Pa} (tensão de escoamento ou tensão inicial)
K=2,2\\ \mathrm{Pa\cdot s^{n}} (consistência)
n=0,51 (índice de consistência)
O enunciado é sucinto (“Calcular o escoamento”). Vou, portanto, calcular os principais parâmetros que definem o escoamento numa tubulação circular e que normalmente se pede neste tipo de exercício:
  • taxa de cisalhamento na parede \dot\gamma_{w};
  • tensão de cisalhamento na parede \tau_{w};
  • viscosidade aparente na parede \eta_{\mathrm{app}};
  • número de Reynolds característico (usando \eta_{\mathrm{app}});
  • existência e tamanho do núcleo plástico (plug) devido à tensão de escoamento;
  • vazão volumétrica Q.

Passo 2

Rápida aula sobre o modelo Herschel–Bulkley (explicando cada termo e quando usar).
A lei constitutiva de Herschel–Bulkley diz que a tensão de cisalhamento \tau relaciona‑se com a taxa de cisalhamento \dot\gamma por:
\tau = \tau_{0} + K\,\dot\gamma^{\,n}\quad\text{para }\tau>\tau_{0},
e para \tau\le \tau_{0} o fluido não escoa (zona plug).
Aqui:
  • \tau é a tensão de cisalhamento local (Pa);
  • \tau_{0} é a tensão de escoamento (Pa);
  • K é a consistência (unidade \mathrm{Pa\cdot s^{n}});
  • n é o índice de fluidez (adimensional);
  • \dot\gamma é a taxa de cisalhamento (s^{-1}).
Explicação intuitiva: para um fluido Herschel–Bulkley, há uma “barreira” \tau_{0} que precisa ser vencida para começar a deformar; depois a relação entre \tau e \dot\gamma segue uma potência com expoente n. Quando n<1 (como aqui, n=0,51) o fluido é pseudoplástico (afinamento por cisalhamento).

Passo 3

Como obter a taxa de cisalhamento na parede a partir da velocidade média?
Para escoamento totalmente desenvolvido em tubo circular, para o fluido newtoniano a taxa de cisalhamento média na parede é \dot\gamma_{w,\mathrm{Newton}}=8V/D. Para fluidos do tipo potência (power‑law) existe um fator corretor de Metzner–Reed que dá:
\dot\gamma_{w} = \frac{8V}{D}\cdot\frac{3n+1}{4n}.
Esse fator \dfrac{3n+1}{4n} ajusta a relação entre velocidade média e gradiente de velocidade na parede quando o perfil de velocidade não é parabólico (caso newtoniano), mas segue a lei potência. Para Herschel–Bulkley usamos a mesma aproximação para estimar a \dot\gamma_{w} porque a parte viscosa do HB se comporta como power‑law com expoente n; a presença de \tau_{0} só altera depois a tensão total (e cria, possivelmente, um núcleo plástico).
Vou usar essa fórmula para obter \dot\gamma_{w}.

Passo 4

Calcular \dot\gamma_{w} numericamente (mostro passo a passo).
Primeiro calcule o fator \dfrac{3n+1}{4n}:
\frac{3n+1}{4n}=\frac{3\cdot 0,51 + 1}{4\cdot 0,51}=\frac{2,53}{2,04}\approx 1,2402.
Agora calcule \dfrac{8V}{D}:
\frac{8V}{D}=\frac{8\cdot 0,67}{0,14}=\frac{5,36}{0,14}=38,2857\\ \mathrm{s^{-1}}.
Multiplicando:
\dot\gamma_{w}=38,2857\cdot 1,2402\approx 47,46\\ \mathrm{s^{-1}}.
Portanto \dot\gamma_{w}\approx 47,46\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Calcular a tensão na parede \tau_{w} para o modelo Herschel–Bulkley.
Usamos a lei:
\tau_{w} = \tau_{0} + K\,\dot\gamma_{w}^{\,n}.
Substituindo os valores:
\dot\gamma_{w}^{\,n} = 47,46^{\,0,51}\approx 7,1653
(calculado por e^{0,51\ln(47,46)}).
Então
K\,\dot\gamma_{w}^{\,n}=2,2\cdot 7,1653\approx 15,7637\\ \mathrm{Pa}.
Adicionando \tau_{0}:
\tau_{w}=3,29 + 15,7637 \approx 19,0537\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando razoavelmente: \tau_{w}\approx 19,05\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Calcular a viscosidade aparente na parede \eta_{\mathrm{app}}.
Definição prática (útil para estimar Reynolds): \eta_{\mathrm{app}}=\dfrac{\tau_{w}}{\dot\gamma_{w}}. É uma “viscosidade efetiva” local que relaciona tensão e taxa de cisalhamento naquele ponto.
Substituindo:
\eta_{\mathrm{app}}=\frac{19,0537}{47,46}\approx 0,4014\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Arredondando: \eta_{\mathrm{app}}\approx 0,401\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 7

Calcular o número de Reynolds usando \eta_{\mathrm{app}} para caracterizar o regime:
Re=\frac{\rho V D}{\eta_{\mathrm{app}}}.
Calcule o numerador:
\rho V D = 965\cdot 0,67\cdot 0,14 \approx 90,517\\ (\text{unidade: }\mathrm{kg/(m\cdot s)}\cdot\mathrm{m}=\mathrm{Pa\cdot s}).
Logo
Re=\frac{90,517}{0,4014}\approx 225,5.
Arredondando: Re\approx 226.
Interpretação rápida (motivacional): esse valor de Re é bem baixo (muito menor que 2000), portanto o escoamento na tubulação é laminar. Para não‑newtonianos a transição pode ser diferente, mas um Re efetivo tão baixo indica regime laminar.

Passo 8

Verificar a existência e tamanho do núcleo plástico (plug) — isto mostra se há região central sem cisalhamento.
Em escoamento de pressão em tubo, a tensão varia linearmente com o raio:
\tau(r)=\tau_{w}\frac{r}{R},
onde R=D/2 e r é a distância do centro. O plug existe enquanto houver r tal que \tau(r)\le \tau_{0}. O limite do plug r_{p} satisfaz \tau(r_{p})=\tau_{0}, logo:
\frac{r_{p}}{R}=\frac{\tau_{0}}{\tau_{w}}.
Calcule a fração:
\frac{r_{p}}{R}=\frac{3,29}{19,0537}\approx 0,1727.
O raio do tubo é R=0,07\\ \mathrm{m}, então
r_{p}=0,1727\cdot 0,07\\ \mathrm{m}\approx 0,0121\\ \mathrm{m}.
Portanto existe um plug central com raio aproximadamente 0,0121\\ \mathrm{m} (ou cerca de 17{,}3\% do raio do tubo). É um núcleo plástico pequeno, o que faz sentido porque \tau_{w} é consideravelmente maior que \tau_{0}.

Passo 9

Calcular a vazão volumétrica Q (para referência, já que você deu a velocidade média):
Q = A V = \left(\frac{\pi D^{2}}{4}\right)V.
Calcule a área:
A=\frac{\pi (0,14)^{2}}{4}=\pi\cdot 0,0049\approx 0,015393\\ \mathrm{m^{2}}.
Logo
Q=0,015393\cdot 0,67\approx 0,01031\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 10

Resumo conceitual final e interpretação (rápido incentivo):
  • Com as fórmulas aplicadas vimos passo a passo como passar da velocidade média e dos parâmetros reológicos do modelo Herschel–Bulkley para quantidades físicas que dizem respeito ao escoamento (cisalhamento na parede, tensão, viscosidade efetiva, Reynolds e plug).
  • Resultado: o escoamento é laminar, há um pequeno núcleo plástico no centro, e a viscosidade aparente é da ordem de décimos de Pascal‑segundo — tudo compatível com um fluido relativamente viscoso e com pequena tensão de escoamento.

Resposta

\dot\gamma_{w}\approx 47,46\\ \mathrm{s^{-1}}
\tau_{w}\approx 19,05\\ \mathrm{Pa}
\eta_{\mathrm{app}}\approx 0,401\\ \mathrm{Pa\cdot s}
Re\approx 226 (escoamento laminar)
r_{p}\approx 0,0121\\ \mathrm{m} (raio do núcleo plástico; corresponde a \approx 17{,}3\% do raio do tubo)
Q\approx 0,01031\\ \mathrm{m^{3}/s}

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