Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercício 5
Diâmetro (m) = 0,14
Velocidade (m/s)= 0,67
Densidade
965
Tensão inicial
3,29
K Pas^n = 2,2
0,51
Exercício 5
Diâmetro (m) = 0,14
Velocidade (m/s)= 0,67
Densidade
Tensão inicial
K Pas^n = 2,2
Passo 1
O enunciado pede para calcular o escoamento de um líquido Herschel–Bulkley nas condições dadas. Dados fornecidos (vou listá‑los exatamente como você passou):
O enunciado é sucinto (“Calcular o escoamento”). Vou, portanto, calcular os principais parâmetros que definem o escoamento numa tubulação circular e que normalmente se pede neste tipo de exercício:
- taxa de cisalhamento na parede
; - tensão de cisalhamento na parede
; - viscosidade aparente na parede
; - número de Reynolds característico (usando
); - existência e tamanho do núcleo plástico (plug) devido à tensão de escoamento;
- vazão volumétrica
.
Passo 2
Rápida aula sobre o modelo Herschel–Bulkley (explicando cada termo e quando usar).
A lei constitutiva de Herschel–Bulkley diz que a tensão de cisalhamento
relaciona‑se com a taxa de cisalhamento
por:
e para
o fluido não escoa (zona plug).
Aqui:
Aqui:
-
é a tensão de cisalhamento local (Pa); -
é a tensão de escoamento (Pa); -
é a consistência (unidade ); -
é o índice de fluidez (adimensional); -
é a taxa de cisalhamento (s^{-1}).
Explicação intuitiva: para um fluido Herschel–Bulkley, há uma “barreira”
que precisa ser vencida para começar a deformar; depois a relação entre
e
segue uma potência com expoente
. Quando
(como aqui,
) o fluido é pseudoplástico (afinamento por cisalhamento).
Passo 3
Como obter a taxa de cisalhamento na parede a partir da velocidade média?
Para escoamento totalmente desenvolvido em tubo circular, para o fluido newtoniano a taxa de cisalhamento média na parede é . Para fluidos do tipo potência (power‑law) existe um fator corretor de Metzner–Reed que dá:
Para escoamento totalmente desenvolvido em tubo circular, para o fluido newtoniano a taxa de cisalhamento média na parede é
Esse fator
ajusta a relação entre velocidade média e gradiente de velocidade na parede quando o perfil de velocidade não é parabólico (caso newtoniano), mas segue a lei potência. Para Herschel–Bulkley usamos a mesma aproximação para estimar a
porque a parte viscosa do HB se comporta como power‑law com expoente
; a presença de
só altera depois a tensão total (e cria, possivelmente, um núcleo plástico).
Vou usar essa fórmula para obter
.
Passo 4
Calcular
numericamente (mostro passo a passo).
Primeiro calcule o fator
:
Agora calcule
:
Multiplicando:
Portanto
.
Passo 5
Calcular a tensão na parede
para o modelo Herschel–Bulkley.
Usamos a lei:
Substituindo os valores:
(calculado por
).
Então
Adicionando
:
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 6
Calcular a viscosidade aparente na parede
.
Definição prática (útil para estimar Reynolds):
. É uma “viscosidade efetiva” local que relaciona tensão e taxa de cisalhamento naquele ponto.
Substituindo:
Arredondando:
.
Passo 7
Calcular o número de Reynolds usando
para caracterizar o regime:
Calcule o numerador:
Logo
Arredondando:
.
Interpretação rápida (motivacional): esse valor de
é bem baixo (muito menor que 2000), portanto o escoamento na tubulação é laminar. Para não‑newtonianos a transição pode ser diferente, mas um Re efetivo tão baixo indica regime laminar.
Passo 8
Verificar a existência e tamanho do núcleo plástico (plug) — isto mostra se há região central sem cisalhamento.
Em escoamento de pressão em tubo, a tensão varia linearmente com o raio:
onde
e
é a distância do centro. O plug existe enquanto houver
tal que
. O limite do plug
satisfaz
, logo:
Calcule a fração:
O raio do tubo é
, então
Portanto existe um plug central com raio aproximadamente
(ou cerca de
do raio do tubo). É um núcleo plástico pequeno, o que faz sentido porque
é consideravelmente maior que
.
Passo 9
Calcular a vazão volumétrica
(para referência, já que você deu a velocidade média):
Calcule a área:
Logo
Passo 10
Resumo conceitual final e interpretação (rápido incentivo):
- Com as fórmulas aplicadas vimos passo a passo como passar da velocidade média e dos parâmetros reológicos do modelo Herschel–Bulkley para quantidades físicas que dizem respeito ao escoamento (cisalhamento na parede, tensão, viscosidade efetiva, Reynolds e plug).
- Resultado: o escoamento é laminar, há um pequeno núcleo plástico no centro, e a viscosidade aparente é da ordem de décimos de Pascal‑segundo — tudo compatível com um fluido relativamente viscoso e com pequena tensão de escoamento.