Sejam as funções f e g reais definidas por f(x)=x^{2}-2 x e g(x)=3 x-4. Determine:
f(g(x))

Passo 1

O enunciado dá duas funções reais e pede a composição de f com g. Informações fornecidas:
f(x)=x^{2}-2x
g(x)=3x-4
Pergunta: determine f(g(x)).

Passo 2

O que significa f(g(x))? É a função f aplicada ao valor de g(x). Em outras palavras, se em f chamamos a variável de entrada de t, temos f(t)=t^{2}-2t e a composição é
f(g(x))=f\big(g(x)\big).
Então a regra é: substituir toda ocorrência da variável de entrada de f por g(x).

Passo 3

Vamos executar a substituição. Tomando f(t)=t^{2}-2t e trocando t por g(x), obtemos
f(g(x))=\big(g(x)\big)^{2}-2\,g(x).
Aqui \big(g(x)\big)^{2} significa que elevamos ao quadrado toda a expressão g(x).

Passo 4

Agora substituímos g(x)=3x-4 na expressão anterior:
f(g(x))=(3x-4)^{2}-2(3x-4).
É importante manter os parênteses para não perder sinais ao expandir.

Passo 5

Expandimos o quadrado do binómio usando a fórmula (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}. Identificando a=3x e b=4:
(3x-4)^{2}=(3x)^{2}-2\cdot(3x)\cdot4+4^{2}.
Calculemos cada termo:
(3x)^{2}=9x^{2},\qquad -2\cdot(3x)\cdot4=-24x,\qquad 4^{2}=16.
Logo
(3x-4)^{2}=9x^{2}-24x+16.

Passo 6

Expandimos o segundo termo -2(3x-4) usando a propriedade distributiva c(a+b)=ca+cb:
-2(3x-4)=-6x+8.

Passo 7

Somamos as partes obtidas:
f(g(x))=(9x^{2}-24x+16)+(-6x+8).
Agrupando termos semelhantes:
9x^{2}+(-24x-6x)+(16+8)=9x^{2}-30x+24.

Resposta

9x^{2}-30x+24

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