Sabendo que \int_{0}^{1} \frac{5 x^{10}}{\sqrt{x^{4}+1}} d x=3 \sqrt{3}, calcule:
(a) \int_{0}^{1} \frac{u^{10}}{\sqrt{u^{4}+1}} d u
(b) \int_{-1}^{1} \frac{5 u^{10}}{\sqrt{u^{4}+1}} d u

Passo 1

O enunciado nos diz que
\int_{0}^{1} \frac{5x^{10}}{\sqrt{x^{4}+1}}\,dx = 3\sqrt{3},
e pede (a) \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{u^{10}}{\sqrt{u^{4}+1}}\,du e (b) \displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{5u^{10}}{\sqrt{u^{4}+1}}\,du.
Vamos usar a propriedade de linearidade da integral (fator constante) e observar que a função u\mapsto \frac{u^{10}}{\sqrt{u^4+1}} é par.

Passo 2

Para (a), aplicamos a linearidade retirando o fator 5:
\int_{0}^{1} \frac{u^{10}}{\sqrt{u^{4}+1}}\,du = \frac{1}{5} \int_{0}^{1} \frac{5\,u^{10}}{\sqrt{u^{4}+1}}\,du = \frac{1}{5}\cdot 3\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{5}.

Passo 3

Para (b), como a função \displaystyle \frac{5u^{10}}{\sqrt{u^{4}+1}} é par, temos
\int_{-1}^{1} \frac{5u^{10}}{\sqrt{u^{4}+1}}\,du = 2\int_{0}^{1} \frac{5x^{10}}{\sqrt{x^{4}+1}}\,dx = 2\cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{5}
(b) \displaystyle 6\sqrt{3}

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