Encontrar o valor ou valores de c para que a integral \int_{0}^{1}\left(3 c^{2} x^{2}+2 c\right) d x seja igual a 3 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o(s) valor(es) de c tais que a integral
\int_{0}^{1}\left(3 c^{2} x^{2}+2 c\right) dx
seja igual a 3.
Informações dadas:
  • A integral é definida no intervalo de x=0 até x=1.
  • A função integranda é 3 c^{2} x^{2}+2 c, onde c é a incógnita (constante em relação a x).
  • Queremos os valores de c que tornam a integral igual a 3.

Passo 2

Primeiro princípio importante (regra de linearidade das integrais): a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral.
Isto significa que
\int_{0}^{1}\left(3 c^{2} x^{2}+2 c\right) dx = \int_{0}^{1} 3 c^{2} x^{2}\,dx + \int_{0}^{1} 2 c\,dx.
Aqui eu usei que 3 c^{2} e 2 c são constantes em relação a x (porque c não depende de x), então podemos tratá-las como fatores constantes.

Passo 3

Coloco as constantes fora das integrais:
\int_{0}^{1} 3 c^{2} x^{2}\,dx + \int_{0}^{1} 2 c\,dx = 3 c^{2} \int_{0}^{1} x^{2}\,dx + 2 c \int_{0}^{1} 1\,dx.
Observação: \int_{0}^{1} 1\,dx é a integral da função constante 1 no intervalo [0,1].

Passo 4

Agora usamos a regra básica de integração (regra da potência): para n \neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui x é a variável de integração e n é um número real. No nosso caso temos n=2, então
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Também sabemos que a integral definida de 1 de 0 a 1 é simplesmente o comprimento do intervalo:
\int_{0}^{1} 1\,dx = 1-0 = 1.

Passo 5

Compute as integrais definidas:
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}.
\int_{0}^{1} 1\,dx = 1.
Substituindo em \;3 c^{2} \int_{0}^{1} x^{2}\,dx + 2 c \int_{0}^{1} 1\,dx\; obtemos:
3 c^{2} \cdot \frac{1}{3} + 2 c \cdot 1 = c^{2} + 2 c.

Passo 6

A condição do problema é que essa expressão seja igual a 3. Portanto montamos a equação:
c^{2} + 2 c = 3.
Colocando tudo num lado:
c^{2} + 2 c - 3 = 0.
Isto é uma equação quadrática. Podemos resolvê-la por fatoração ou pela fórmula de Bhaskara. Vou ver se ela fatora facilmente: procuro dois números cujo produto seja -3 e soma seja 2. Esses números são 3 e -1. Então:
c^{2} + 2 c - 3 = (c+3)(c-1).

Passo 7

Igualando a zero cada fator:
(c+3)(c-1)=0 \quad\Rightarrow\quad c+3=0 \\ \text{ou}\\ c-1=0.
Portanto
c = -3 \quad\text{ou}\quad c = 1.

Passo 8

Verificação rápida (substituição, pra ficar tranquilo): se c=1, a integral vira
\int_{0}^{1} (3\cdot1^{2} x^{2} + 2\cdot1)\,dx = \int_{0}^{1} (3x^{2}+2)\,dx = \left[ x^{3} + 2x \right]_{0}^{1} = 1 + 2 = 3,
ok. Se c=-3, a integral vira
\int_{0}^{1} (3\cdot(-3)^{2} x^{2} + 2\cdot(-3))\,dx = \int_{0}^{1} (27 x^{2} - 6)\,dx = \left[ 9x^{3} - 6x \right]_{0}^{1} = 9 - 6 = 3,
também ok. As duas soluções funcionam.

Resposta

c=1\n c=-3

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