Sabendo que
, determine
.
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pede que determinemos
Informações relevantes: o integrando é
e os limites de integração são simétricos em torno de zero (
a
). Não fazemos mais nada neste passo além de listar o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento do integrando em relação a
. Definimos
. Primeiro, veremos a paridade (se é par ou ímpar):
- A função
é par porque
- A função
é ímpar porque
O produto de uma função par por uma função ímpar é ímpar. Vamos verificar isso diretamente para
:
Portanto
é ímpar. Lembre-se: uma função
é ímpar se, e somente se,
para todo
.
Passo 3
Agora usamos uma propriedade importante de integrais definida em intervalos simétricos: se
é ímpar e integrável em
, então
Prova curta (útil para a prova): escrevemos a integral como soma das metades
Na primeira integral fazemos a substituição
. Então
, quando
temos
e quando
temos
. Assim
Se
é ímpar,
, então
Somando com a outra metade,
Pronto — as contribuições das metades se cancelam.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso com
e
(que mostramos ser ímpar), obtemos imediatamente
Se você preferir ver usando a informação dada: como
, pela simetria a metade negativa dá
, e a soma
. Ambos chegam ao mesmo resultado.