Sabendo que \int_{0}^{\pi} x^{2} \sin (x) d x=\pi^{2}-4, determine \int_{-\pi}^{\pi} x^{2} \sin (x) d x.

Passo 1

O enunciado dá a informação
\int_{0}^{\pi} x^{2}\sin(x)\,dx = \pi^{2}-4
e pede que determinemos
\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\sin(x)\,dx.
Informações relevantes: o integrando é x^{2}\sin(x) e os limites de integração são simétricos em torno de zero ( -\pi a \pi). Não fazemos mais nada neste passo além de listar o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento do integrando em relação a x\to -x. Definimos f(x)=x^{2}\sin(x). Primeiro, veremos a paridade (se é par ou ímpar):
  • A função g(x)=x^{2} é par porque
g(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=g(x).
  • A função h(x)=\sin(x) é ímpar porque
h(-x)=\sin(-x)=-\sin(x)=-h(x).
O produto de uma função par por uma função ímpar é ímpar. Vamos verificar isso diretamente para f:
f(-x)=(-x)^{2}\sin(-x)=x^{2}(-\sin x)=-x^{2}\sin x=-f(x).
Portanto f é ímpar. Lembre-se: uma função f é ímpar se, e somente se, f(-x)=-f(x) para todo x.

Passo 3

Agora usamos uma propriedade importante de integrais definida em intervalos simétricos: se f é ímpar e integrável em [-a,a], então
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
Prova curta (útil para a prova): escrevemos a integral como soma das metades
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Na primeira integral fazemos a substituição u=-x. Então du=-dx, quando x=-a temos u=a e quando x=0 temos u=0. Assim
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{a}^{0} f(-u)\,(-du) = \int_{0}^{a} f(-u)\,du.
Se f é ímpar, f(-u)=-f(u), então
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} -f(u)\,du = -\int_{0}^{a} f(u)\,du.
Somando com a outra metade,
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx = -\int_{0}^{a} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx = 0.
Pronto — as contribuições das metades se cancelam.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso com a=\pi e f(x)=x^{2}\sin(x) (que mostramos ser ímpar), obtemos imediatamente
\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\sin(x)\,dx = 0.
Se você preferir ver usando a informação dada: como \int_{0}^{\pi} x^{2}\sin x\,dx=\pi^{2}-4, pela simetria a metade negativa dá -(\pi^{2}-4), e a soma -(\pi^{2}-4)+(\pi^{2}-4)=0. Ambos chegam ao mesmo resultado.

Resposta

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