Sabendo que integral 11^2+x^2 d x=arctg x+C, determine as seguintes primitivas:
integral 1x^2+4 x+5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva de 1x^2 + 4x + 5. O conteúdo principal é integração de funções racionais usando completamento de quadrado e a fórmula integral 11 + x^2 ,dx = arctg x + C.

Passo 2

Completamos o quadrado no denominador para reescrevê-lo em forma de soma de quadrados:
x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1

Passo 3

Fazemos a mudança de variável u = x+2, de modo que du = dx. A integral passa a ser:
integral 1x^2 + 4x + 5 ,dx = integral 1u^2 + 1 ,du

Passo 4

Aplicamos a fórmula conhecida para a função arco-tangente:
integral 1u^2 + 1 ,du = arctg u + C

Passo 5

Voltando à variável original, substituímos u = x+2 e chegamos ao resultado final:
arctg(x+2) + C

Resposta

arctg(x+2) + C

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