Sabendo que
e que
onde
são todos os pólos de
, use resíduos e a expressão acima para calcular. Neste exercício, considere
e
constantes reais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace
usando o teorema de resíduos. O conteúdo que vamos usar é justamente
onde os
são os polos de
. Para isso precisamos identificar os polos, determinar suas ordens e calcular os resíduos correspondentes.
Passo 2
Os polos de
vêm dos zeros do denominador de
. Temos:
-
, pólo simples (ordem 1). -
, pólo duplo (ordem 2).
Para pólo simples usamos
e para pólo duplo de ordem 2:
Passo 3
Vamos calcular o resíduo em
:
Passo 4
Agora o resíduo em
(pólo duplo). Definindo
, temos
Calculando a derivada:
Avaliando em
:
Passo 5
Somando os dois resíduos obtemos a resposta da transformada inversa: