Sabendo que
Lf(t)=F(s)=integral0^+infty f(t) e^-s t d t
e que
L^-1F(s)=sumzk Res[F(s) e^s t, zk],
onde zk são todos os pólos de F(s), use resíduos e a expressão acima para calcular. Neste exercício, considere a e b constantes reais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace
L^-1gl1(s+a)^2(s+b)gr
usando o teorema de resíduos. O conteúdo que vamos usar é justamente
L^-1F(s)=sumzkResl[F(s)e^st,zkr],
onde os zk são os polos de F(s). Para isso precisamos identificar os polos, determinar suas ordens e calcular os resíduos correspondentes.

Passo 2

Os polos de F(s)e^st vêm dos zeros do denominador de F(s)=1/((s+a)^2(s+b)). Temos:
  • s=-b, pólo simples (ordem 1).
  • s=-a, pólo duplo (ordem 2).
    Para pólo simples usamos
Res[g(s),s=s0]=limsto s0(s-s0)g(s),
e para pólo duplo de ordem 2:
Res[g(s),s=s0]=limsto s0ddsl[(s-s0)^2g(s)r]

Passo 3

Vamos calcular o resíduo em s=-b:
Resl[F(s)e^st,s=-br] =limsto -b(s+b)e^st(s+a)^2(s+b) =e^-bt(-b+a)^2 =e^-bt(a-b)^2

Passo 4

Agora o resíduo em s=-a (pólo duplo). Definindo g(s)=e^st(s+a)^2(s+b), temos
Resl[g(s),s=-ar] =limsto -addsl[(s+a)^2e^st(s+a)^2(s+b)r] =limsto -addsl[e^sts+br]
Calculando a derivada:
ddsl[e^sts+br] =t e^st(s+b)-e^st(s+b)^2 =e^stl[t(s+b)-1r](s+b)^2
Avaliando em s=-a:
Resl[g(s),s=-ar] =e^-atl[t(b-a)-1r](b-a)^2 = -1 + t(a-b)(a-b)^2,e^-at

Passo 5

Somando os dois resíduos obtemos a resposta da transformada inversa:
f(t)=Ress=-b+Ress=-a =e^-bt(a-b)^2-l(1+t(a-b)r)e^-at(a-b)^2 =e^-bt-e^-atl(1+(a-b)tr)(a-b)^2

Resposta

f(t)=e^-bt-e^-atl(1+(a-b)tr)(a-b)^2

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