Sabendo que
Lf(t)=F(s)=integral0^+infty f(t) e^-s t d t
e que
L^-1F(s)=sumzk Res[F(s) e^s t, zk],
onde zk são todos os pólos de F(s), use resíduos e a expressão acima para calcular. Neste exercício, considere a e b constantes reais.

Passo 1

O exercício pede para calcular a transformada inversa de Laplace de F(s)=2s^3 usando a fórmula de resíduos L^-1F(s)=sumzkRes[F(s)e^st,zk]. Vamos precisar identificar os polos de F(s)e^st e calcular o resíduo correspondente.

Passo 2

Multiplicamos F(s) por e^st:
2s^3e^st=2,e^sts^3
Aqui há um pólo em s=0 de ordem 3. Para achar o resíduo, expandimos e^st em série de Taylor:
e^st=sumn=0^infty(s t)^nn!
Substituindo na expressão acima:
2e^sts^3=2sumn=0^inftys^n-3t^nn!
O resíduo é o coeficiente do termo s^-1, ou seja quando n-3=-1 ( n=2).

Passo 3

Para n=2 o termo é:
2s^2-3t^22!=2s^-1t^22=t^2s^-1
Logo o resíduo em s=0 é t^2. Como esse é o único pólo, a transformada inversa é
.

Resposta

t^2

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