Sabendo-se que o kps do \mathrm{BaCO}_{3} é 4,9 \times 10^{-9} e que as constantes do \mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3} são \mathrm{k}_{1}=4,3 \times 10^{-7} e \mathrm{k}_{2}=4,8 \times 10^{-11}
a) calcule quantos gramas deste sal ( \mathrm{MM}=197,33 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ) se dissolvem em 500 mL de solução com pH 2,0 (20 pontos)
b) calcule em que valor de pH seriam solubilizados 2,0 \mathrm{~g} deste sal ( \mathrm{MM}=197,33 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ) em 200 mL (20 pontos)

Passo 1

O enunciado dá os valores de equilíbrio e pede duas coisas. Vou listar tudo claramente:
  • Dados fornecidos: K_{sp}(\mathrm{BaCO_3}) = 4,9\times 10^{-9},
K_1(\mathrm{H_2CO_3}) = 4,3\times 10^{-7},
K_2(\mathrm{H_2CO_3}) = 4,8\times 10^{-11},
massa molar do sal \mathrm{MM}=197,33\\ \mathrm{g/mol}.
  • Perguntas:
    a) Quantos gramas de \mathrm{BaCO_3} se dissolvem em 500\\ \mathrm{mL} de solução com \mathrm{pH}=2{,}0?
    b) Para que valor de pH seriam solubilizados 2{,}0\\ \mathrm{g} de \mathrm{BaCO_3} em 200\\ \mathrm{mL}?
Essas são as duas metas. No próximo passo eu explico a teoria que conecta Ksp e a especiação do carbonato, e depois aplico aos casos pedidos.

Passo 2

Entendendo a física química por trás (explicação didática e fórmula que vamos usar).
Quando \mathrm{BaCO_3} se dissolve:
\mathrm{BaCO_3(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Ba^{2+}} + \mathrm{CO_3^{2-}}.
O produto de solubilidade é
K_{sp} = [\mathrm{Ba^{2+}}]\,[\mathrm{CO_3^{2-}}].
Se s for a solubilidade em mol/L (n° de mols de \mathrm{BaCO_3} dissolvidos por litro), então a princípio [\mathrm{Ba^{2+}}]=s. Porém \mathrm{CO_3^{2-}} reage com \mathrm{H^+} formando \mathrm{HCO_3^-} e \mathrm{H_2CO_3}. Assim a concentração total de espécies derivadas do íon carbonato geradas pela dissolução é igual a s:
C_T = s = [\mathrm{CO_3^{2-}}] + [\mathrm{HCO_3^-}] + [\mathrm{H_2CO_3}].
Para um ácido diprótico \mathrm{H_2CO_3} com constantes K_1 e K_2 as frações molares (as “alfa”) das espécies em função de [\mathrm{H^+}] são:
\alpha_0 = \frac{[\mathrm{H^+}]^2}{[\mathrm{H^+}]^2 + [\mathrm{H^+}]K_1 + K_1K_2}\quad(\text{fração como }\mathrm{H_2CO_3}),çã
\alpha_1 = \frac{[\mathrm{H^+}]K_1}{[\mathrm{H^+}]^2 + [\mathrm{H^+}]K_1 + K_1K_2}\quad(\text{fração como }\mathrm{HCO_3^-}),çã
\alpha_2 = \frac{K_1K_2}{[\mathrm{H^+}]^2 + [\mathrm{H^+}]K_1 + K_1K_2}\quad(\text{fração como }\mathrm{CO_3^{2-}}).çã
Logo
[\mathrm{CO_3^{2-}}] = s\cdot\alpha_2.
Substituindo em K_{sp}:
K_{sp} = [\mathrm{Ba^{2+}}]\,[\mathrm{CO_3^{2-}}] = s\cdot (s\alpha_2) = s^2\alpha_2.
Isolando s:
s = \sqrt{\frac{K_{sp}}{\alpha_2}}.
Esta fórmula é a chave: dado [\mathrm{H^+}] (pH) calculamos \alpha_2 e daí s. Para o problema inverso (conhecendo s, queremos o pH), usamos a expressão de \alpha_2 e resolvemos para [\mathrm{H^+}].
Agora aplicamos isso numericamente aos itens (com calma, passo a passo).

Passo 3

Parte (a): calcular solubilidade quando \mathrm{pH}=2{,}0.
Primeiro definimos concentração de íon hidrogênio:
[\mathrm{H^+}] = 10^{-\mathrm{pH}} = 10^{-2} = 0{,}01\\ \mathrm{M}.
Calculo de K_1K_2 (vou chamar A):
A = K_1K_2 = (4{,}3\times 10^{-7})\times(4{,}8\times 10^{-11}) = 2{,}064\times 10^{-17}.
Agora calculamos o denominador comum da expressão de \alpha_2:
D = [\mathrm{H^+}]^2 + [\mathrm{H^+}]K_1 + K_1K_2.
Numericamente:
[\mathrm{H^+}]^2 = (0{,}01)^2 = 1{,}0\times 10^{-4},
[\mathrm{H^+}]K_1 = 0{,}01\times 4{,}3\times 10^{-7} = 4{,}3\times 10^{-9},
K_1K_2 = 2{,}064\times 10^{-17}.
Somando:
D \approx 1{,}000043\times 10^{-4}\quad(\text{o termo }[\mathrm{H^+}]^2 \text{ domina}).
Então
\alpha_2 = \frac{A}{D} \approx \frac{2{,}064\times 10^{-17}}{1{,}000043\times 10^{-4}} \approx 2{,}063\times 10^{-13}.

Passo 4

Continuando (a): calculo da solubilidade s e conversão para gramas.
Usando
s = \sqrt{\frac{K_{sp}}{\alpha_2}} = \sqrt{\frac{4{,}9\times 10^{-9}}{2{,}063\times 10^{-13}}}.
Calculemos o quociente:
\frac{4{,}9\times 10^{-9}}{2{,}063\times 10^{-13}} \approx 2{,}374\times 10^{4}.
Portanto
s \approx \sqrt{2{,}374\times 10^{4}} \approx 154{,}11\\ \mathrm{mol/L}.
Moles dissolvidos em 0{,}5\\ \mathrm{L}:
n = s\times V = 154{,}11\times 0{,}5 = 77{,}055\\ \mathrm{mol}.
Massa correspondente (usando \mathrm{MM}=197{,}33\\ \mathrm{g/mol}):
m = n\times \mathrm{MM} = 77{,}055\times 197{,}33 \approx 15\,205\\ \mathrm{g}.
Observação (didática): o valor é muito grande porque em meio muito ácido a maior parte do carbonato fica protonada (pouco \mathrm{CO_3^{2-}}), então, para atingir o produto de solubilidade, a solução permitiria teoricamente grande dissolução do sal se o pH fosse mantido fixo por grande reservatório de ácido.

Passo 5

Parte (b): queremos que 2{,}0\\ \mathrm{g} se dissolvam em 200\\ \mathrm{mL}. Primeiro converter para solubilidade s (mol/L).
Moles necessários:
n = \frac{2{,}0}{197{,}33} \approx 0{,}01013\\ \mathrm{mol}.
Volume V=0{,}200\\ \mathrm{L}. Então
s = \frac{n}{V} = \frac{0{,}01013}{0{,}200} \approx 0{,}05066\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 6

Ainda (b): relacionar s com \alpha_2 e obter [\mathrm{H^+}].
Da relação K_{sp} = s^2\alpha_2 obtemos
\alpha_2 = \frac{K_{sp}}{s^2} = \frac{4{,}9\times 10^{-9}}{(0{,}05066)^2}.
Calcule:
s^2 = (0{,}05066)^2 \approx 0{,}002567,
\alpha_2 \approx \frac{4{,}9\times 10^{-9}}{0{,}002567} \approx 1{,}909\times 10^{-6}.
Recordando a expressão de \alpha_2:
\alpha_2 = \frac{A}{[\mathrm{H^+}]^2 + [\mathrm{H^+}]K_1 + A},
onde A=K_1K_2=2{,}064\times 10^{-17}. Vamos resolver para h=[\mathrm{H^+}]. Reescrevendo:
\alpha_2\left(h^2 + hK_1 + A\right) = A.
Isto dá uma equação quadrática em h:
\alpha_2\,h^2 + \alpha_2 K_1\,h + (\alpha_2 A - A) = 0.
Ou
\alpha_2\,h^2 + (\alpha_2 K_1)\,h + A(\alpha_2 -1) = 0.

Passo 7

Resolver numericamente a quadrática (b):
Plugando números:
a = \alpha_2 = 1{,}909\times 10^{-6},
b = \alpha_2 K_1 = 1{,}909\times 10^{-6}\times 4{,}3\times 10^{-7} \approx 8{,}204\times 10^{-13},
c = A(\alpha_2 -1) = 2{,}064\times 10^{-17}\times(1{,}909\times 10^{-6}-1)\approx -2{,}064\times 10^{-17}.
Usamos a fórmula de Bhaskara:
h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
O discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac \approx (8{,}204\times 10^{-13})^2 - 4(1{,}909\times 10^{-6})(-2{,}064\times 10^{-17}).
Calculando:
b^2 \approx 6{,}73\times 10^{-25},
-4ac \approx -4(1{,}909\times 10^{-6})(-2{,}064\times 10^{-17}) \approx 1{,}576\times 10^{-22},
\Delta \approx 1{,}583\times 10^{-22}.
Raiz do discriminante:
\sqrt{\Delta} \approx 1{,}259\times 10^{-11}.
Escolhemos a raiz positiva fisicamente relevante:
h = \frac{-8{,}204\times 10^{-13} + 1{,}259\times 10^{-11}}{2\times 1{,}909\times 10^{-6}} \approx \frac{1{,}177\times 10^{-11}}{3{,}818\times 10^{-6}} \approx 3{,}08\times 10^{-6}\\ \mathrm{M}.

Passo 8

Finalmente, convertemos para pH:
\mathrm{pH} = -\log_{10}([\mathrm{H^+}]) = -\log_{10}(3{,}08\times 10^{-6}) \approx 5{,}51.
Pequena palavra de incentivo: ótimos passos — mesmo que a parte (a) dê um número grande, isso mostra bem como a presença de ácido torna muito solúvel o carbonato (se o pH for mantido fixo). Agora vou resumir só as respostas finais.

Resposta

(a) 1{,}52\times 10^{4}\\ \mathrm{g} (aproximadamente 15\,205\\ \mathrm{g})\n(b) \mathrm{pH}\approx 5{,}51

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