A Calcita \left(\mathrm{CaCO}_{3}\right), um mineral muito encontrado em paredes de cavernas e com grande abundância em Minas Gerais, é usada para preparar cimentos, cal, argamassas, tintas e também é uma fonte para extração de cálcio. Sabendo-se que o kps do \mathrm{CaCO}_{3}=4,5 \times 10^{-9}, responda:
a) Calcule a solubilidade do \mathrm{CaCO}_{3} em água. (5 pontos)
b) Considerando que por uma caverna composta por \mathrm{CaCO}_{3} infiltram anualmente 1000.000 litros de água de chuva, calcule a massa de \mathrm{CaCO}_{3}(\mathrm{MM}=100 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}) perdida anualmente por dissolução. ( 10 pontos)
c) Calcule a solubilidade ( \mathrm{mol} \mathrm{L}^{-1} ) do \mathrm{CaCO}_{3} formado da mistura de 25 \mathrm{~mL} \mathrm{de} \mathrm{CaCl}_{2} 0,008 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} com 25 \mathrm{~mL}^{\text {de Na2CO }} 0,004 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}. (15 pontos)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e perguntas. Dados:
K_{sp}(\mathrm{CaCO_3}) = 4{,}5\times 10^{-9}
\text{massa molar } M(\mathrm{CaCO_3}) = 100\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}
\text{volume anual de água que infiltra} = 1{,}000{,}000\\ \mathrm{L}á
(Nota: interpretei “1000.000 litros” como 1{,}000{,}000\\ \mathrm{L}.)
Para a mistura da letra (c):
V_{\mathrm{CaCl_2}}=25\\ \mathrm{mL}=0{,}025\\ \mathrm{L},\quad C_{\mathrm{CaCl_2}}=0{,}008\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
V_{\mathrm{Na_2CO_3}}=25\\ \mathrm{mL}=0{,}025\\ \mathrm{L},\quad C_{\mathrm{Na_2CO_3}}=0{,}004\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
Perguntas:
a) Calcular a solubilidade do \mathrm{CaCO_3} em água (mol L^{-1}).
b) Com o volume anual dado, calcular a massa de \mathrm{CaCO_3} perdida anualmente por dissolução.
c) Após misturar os volumes e concentrações dados, calcular a solubilidade (mol L^{-1}) do \mathrm{CaCO_3} formado (isto é, a concentração em equilíbrio do íon proveniente da dissolução/precipitação).

Passo 2

Conceitos essenciais (mini-aula rápida e prática):
  • Para um sal pouco solúvel que se dissolve segundo \mathrm{CaCO_3(s)\rightleftharpoons Ca^{2+}+CO_3^{2-}}, o produto de solubilidade é
K_{sp} = [\mathrm{Ca^{2+}}]\,[\mathrm{CO_3^{2-}}].
  • A solubilidade molar s em água pura é definida como a quantidade (em mol L^{-1}) de \mathrm{CaCO_3} que se dissolve. Nesse caso, cada mol que se dissolve gera 1 mol de \mathrm{Ca^{2+}} e 1 mol de \mathrm{CO_3^{2-}}, logo
[\mathrm{Ca^{2+}}]=s,\qquad [\mathrm{CO_3^{2-}}]=s.
  • Substituindo em K_{sp} obtém-se a equação a resolver:
K_{sp}=s^2.
Agora aplicamos isso ao valor dado.

Passo 3

Resolução da letra (a) — cálculo da solubilidade em água:
s=\sqrt{K_{sp}}=\sqrt{4{,}5\times 10^{-9}}.
Calculemos numericamente:
s=\sqrt{4{,}5}\times 10^{-4{,}5}\approx 6{,}7082\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Interpretação prática: em água pura, a concentração de \mathrm{Ca^{2+}} e de \mathrm{CO_3^{2-}} em equilíbrio com \mathrm{CaCO_3(s)} será cerca de 6{,}71\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

Passo 4

Resolução da letra (b) — massa perdida por dissolução num volume anual:
  • A solubilidade é s=6{,}7082\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}. Isso significa que, em cada litro de água, dissolvem-se s mol de \mathrm{CaCO_3}.
  • Moles dissolvidos por ano:
n_{\text{ano}} = s \times V = 6{,}7082\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}\times 1{,}000{,}000\\ \mathrm{L}=67{,}08203932\\ \mathrm{mol}.
  • Convertendo para massa usando M=100\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}:
m_{\text{ano}} = n_{\text{ano}}\times M = 67{,}08203932\\ \mathrm{mol}\times 100\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}=6{,}708203932\times 10^{3}\\ \mathrm{g}.
  • Em unidades mais usuais:
m_{\text{ano}} \approx 6{,}708\\ \mathrm{kg}.
Comentário encorajador: ou seja, com um milhão de litros de chuva por ano você perde algo em torno de alguns quilogramas de calcita por dissolução — não é enorme, mas acumulado ao longo do tempo faz diferença.

Passo 5

Preparação para a letra (c) — estratégia e conceitos:
  • Ao misturar soluções, primeiro calculamos as concentrações iniciais imediatas após mistura (antes de qualquer precipitação ou redistribuição).
  • Calculamos o quociente iônico inicial Q=[\mathrm{Ca^{2+}}]_{0}\,[\mathrm{CO_3^{2-}}]_{0}. Se Q>K_{sp}, a solução está sobresaturada e ocorre precipitação até que o produto volte a ser igual a K_{sp}.
  • Usamos balanço de massa (conservação de moles) para relacionar as concentrações finais. Se V é o volume total depois da mistura, e se [ \mathrm{Ca^{2+}} ] e [ \mathrm{CO_3^{2-}} ] forem as concentrações de equilíbrio, então
[\mathrm{Ca^{2+}}]-[\mathrm{CO_3^{2-}}]=\frac{n_{\mathrm{Ca},0}-n_{\mathrm{CO_3},0}}{V},
porque o precipitado remove mols iguais de cada íon.
  • Juntamos isso com a condição de equilíbrio [\mathrm{Ca^{2+}}][\mathrm{CO_3^{2-}}]=K_{sp} e resolvemos.

Passo 6

Cálculos numéricos para (c) — concentrações iniciais após mistura:
  • Volume total:
V_{\text{total}}=0{,}025+0{,}025=0{,}050\\ \mathrm{L}.
  • Mols iniciais:
n_{\mathrm{Ca^{2+}},0}=0{,}025\\ \mathrm{L}\times 0{,}008\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}=0{,}0002\\ \mathrm{mol}.
n_{\mathrm{CO_3^{2-}},0}=0{,}025\\ \mathrm{L}\times 0{,}004\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}=0{,}0001\\ \mathrm{mol}.
  • Concentrações iniciais (antes de precipitar):
[\mathrm{Ca^{2+}}]_0=\frac{0{,}0002}{0{,}050}=0{,}004\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
[\mathrm{CO_3^{2-}}]_0=\frac{0{,}0001}{0{,}050}=0{,}002\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
  • Quociente iônico inicial:
Q=[\mathrm{Ca^{2+}}]_0\,[\mathrm{CO_3^{2-}}]_0=0{,}004\times 0{,}002=8{,}0\times 10^{-6}.
Comparando com K_{sp}=4{,}5\times 10^{-9}, vemos Q\gg K_{sp}: a solução está muito sobresaturada e ocorrerá precipitação de \mathrm{CaCO_3} até o equilíbrio.

Passo 7

Montagem das equações de equilíbrio e solução (cálculo matemático):
  • Seja [\mathrm{CO_3^{2-}}]=x a concentração final de carbonato em equilíbrio. Pelo balanço de massa obtivemos antes que
[\mathrm{Ca^{2+}}]=x+ \frac{n_{\mathrm{Ca},0}-n_{\mathrm{CO_3},0}}{V}.
  • Calculamos o termo constante:
\frac{n_{\mathrm{Ca},0}-n_{\mathrm{CO_3},0}}{V}=\frac{0{,}0002-0{,}0001}{0{,}050}=\frac{0{,}0001}{0{,}050}=0{,}002\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Logo
[\mathrm{Ca^{2+}}]=x+0{,}002.
  • Condição de equilíbrio:
[\mathrm{Ca^{2+}}][\mathrm{CO_3^{2-}}]=(x+0{,}002)\,x = K_{sp}=4{,}5\times 10^{-9}.
  • Desenvolvendo:
x^2+0{,}002x-4{,}5\times 10^{-9}=0.
  • Resolvendo a equação quadrática (apenas a raiz positiva é física):
x=\frac{-0{,}002+\sqrt{(0{,}002)^2+4\times 4{,}5\times 10^{-9}}}{2}.
  • Calculando o discriminante:
(0{,}002)^2+4\times 4{,}5\times 10^{-9}=4{,}0000\times 10^{-6}+1{,}8\times 10^{-8}=4{,}018\times 10^{-6}.
\sqrt{4{,}018\times 10^{-6}}\approx 0{,}002004496.
  • Assim:
x=\frac{-0{,}002+0{,}002004496}{2}=\frac{0{,}000004496}{2}=2{,}248\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
  • Então a concentração de \mathrm{Ca^{2+}} em equilíbrio é
[\mathrm{Ca^{2+}}]=x+0{,}002=0{,}002002248\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Explicação pedagógica curta: o valor muito pequeno de x mostra que praticamente todo o \mathrm{CO_3^{2-}} inicial precipitou como \mathrm{CaCO_3}; o que fica dissolvido em equilíbrio é uma concentração muito pequena (da ordem de 10^{-6} mol L^{-1}) por causa do K_{sp} muito baixo.

Resposta

(a) s=6{,}7082\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
(b) m_{\text{ano}}=6{,}708\times 10^{3}\\ \mathrm{g} (aprox. 6{,}708\\ \mathrm{kg})
(c) solubilidade (concentração de \mathrm{CO_3^{2-}} em equilíbrio) x=2{,}248\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} (portanto [\mathrm{Ca^{2+}}]_{eq}=0{,}002002248\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}).

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