Sabendo que \left|\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right|=4, calcule, sem desenvolver o denerminame \left|\begin{array}{cc}5 x & 5 y \\\ z & w\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado nos dá
\det \begin{pmatrix} x & y \\\ z & w \end{pmatrix} =4
e pede que calculemos, sem expandir,
\det \begin{pmatrix} 5x & 5y \\\ z & w \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é a propriedade de determinantes: multiplicar uma linha (ou coluna) por um escalar.
Passo 2
A propriedade fundamental é: se multiplicamos uma linha de uma matriz por um escalar k, o determinante da nova matriz é k vezes o determinante original. Em notação,
\det \begin{pmatrix} k\,a & k\,b \\\ c & d \end{pmatrix} = k \,\det \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}.
Passo 3
Aplicando com k=5 na primeira linha, temos
\det \begin{pmatrix} 5x & 5y \\\ z & w \end{pmatrix} =5\;\det \begin{pmatrix} x & y \\\ z & w \end{pmatrix} =5\cdot 4 = 20.