28 Se \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right|=-10, qual é o valor de:
a) \left|\begin{array}{ccc}\mathrm{a} & \mathrm{b} & \mathrm{c} \\\\ 2 \mathrm{~d} & 2 \mathrm{e} & 2 \mathrm{f} \\\\ 3 \mathrm{~g} & 3 \mathrm{~h} & 3 \mathrm{i}\end{array}\right|
b) \left|\begin{array}{lll}b & a & 4 c \\\ e & d & 4 f \\\ h & g & 4 i\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado dá o determinante original
D = \begin{vmatrix}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{vmatrix} = -10
e pede dois novos determinantes obtidos por operações elementares em linhas ou colunas. Vamos usar as propriedades de determinantes:
Se factorarmos k de uma linha (ou coluna), o determinante é multiplicado por k.
Se trocarmos duas colunas (ou linhas), o determinante muda de sinal.
Passo 2
Para o item (a) temos
\begin{vmatrix} a & b & c \\\\ 2d & 2e & 2f \\\\ 3g & 3h & 3i \end{vmatrix}.
Aqui a segunda linha foi escalonada por 2 e a terceira por 3. Logo podemos fatorar esses escalares:
\begin{vmatrix} a & b & c \\\\ 2d & 2e & 2f \\\\ 3g & 3h & 3i \end{vmatrix} = 2\cdot3 \;\begin{vmatrix} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{vmatrix} = 6\,D.
Passo 3
Substituindo D=-10 obtemos
6 \times (-10) = -60.
Passo 4
Para o item (b) temos
\begin{vmatrix} b & a & 4c \\\ e & d & 4f \\\ h & g & 4i \end{vmatrix}.
Observe que: 1. As colunas 1 e 2 foram trocadas em relação ao determinante original (fator -1). 2. A coluna 3 foi escalonada por 4 (fator 4).
Portanto,
\begin{vmatrix} b & a & 4c \\\ e & d & 4f \\\ h & g & 4i \end{vmatrix} = (-1)\times 4 \;\begin{vmatrix} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{vmatrix} = -4\,D.