Resolva, em \mathbf{R}, as seguintes equações:
a) \left|\begin{array}{rlc}1 & 2 & x \\\\ -1 & x & x+1 \\\\ 3 & 2 & x\end{array}\right|=6
b) \left|\begin{array}{rrr}\mathrm{x} & 0 & 1 \\\\ 2 \mathrm{x} & \mathrm{x} & 2 \\\\ 3 & 2 \mathrm{x} & \mathrm{x}\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no conjunto dos números reais, duas equações obtidas igualando a um valor o determinante de uma matriz 3\times3. O conteúdo que vamos usar é o cálculo de determinantes por desenvolvimento em uma linha e, em seguida, a solução de equações polinomiais de grau até 3.

Passo 2

Para a parte (a), calculemo-s o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & x \\[6pt] -1 & x & x+1 \\[6pt] 3 & 2 & x \end{pmatrix}
desenvolvendo pela primeira linha:
\det A = 1\cdot \det\!\begin{pmatrix}x & x+1\\\ 2 & x\end{pmatrix} -2\cdot \det\!\begin{pmatrix}-1 & x+1\\\ 3 & x\end{pmatrix} + x\cdot \det\!\begin{pmatrix}-1 & x\\\ 3 & 2\end{pmatrix}.
Agora calculamos cada menor:
\det\begin{pmatrix}x & x+1\\\ 2 & x\end{pmatrix} = x\cdot x - (x+1)\cdot 2 = x^2 -2x -2,
\det\begin{pmatrix}-1 & x+1\\\ 3 & x\end{pmatrix} = (-1)\cdot x - (x+1)\cdot 3 = -4x -3,
\det\begin{pmatrix}-1 & x\\\ 3 & 2\end{pmatrix} = (-1)\cdot 2 - x\cdot 3 = -2 -3x.
Substituindo em \det A:
\det A = (x^2 -2x -2) -2(-4x -3) + x(-2 -3x) = x^2 -2x -2 +8x +6 -2x -3x^2 = -2x^2 +4x +4.]

Passo 3

A equação da parte (a) é
\det A = 6 \quad\Longrightarrow\quad -2x^2 +4x +4 = 6 \quad\Longrightarrow\quad -2x^2 +4x -2 = 0.
Dividindo por -2:
x^2 -2x +1 =0 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Passo 4

Para a parte (b), calculamos o determinante da matriz
B = \begin{pmatrix} x & 0 & 1 \\[4pt] 2x & x & 2 \\[4pt] 3 & 2x & x \end{pmatrix}
também pela primeira linha:
\det B = x\cdot \det\!\begin{pmatrix}x & 2\\\ 2x & x\end{pmatrix} - 0 +1\cdot \det\!\begin{pmatrix}2x & x\\\ 3 & 2x\end{pmatrix}.
Os menores são
\det\begin{pmatrix}x & 2\\\ 2x & x\end{pmatrix} = x^2 -4x,
\det\begin{pmatrix}2x & x\\\ 3 & 2x\end{pmatrix} = 4x^2 -3x.
Logo
\det B = x(x^2 -4x) + (4x^2 -3x) = x^3 -4x^2 +4x^2 -3x = x^3 -3x.]

Passo 5

A equação da parte (b) é
\det B = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^3 -3x =0 \quad\Longrightarrow\quad x(x^2 -3)=0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0,\;\pm\sqrt{3}.

Resposta

a) x = 1
b) x = 0,\;\sqrt{3},\;-\sqrt{3}

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