Encontre A^{T}, A^{-1},\left(A^{-1}\right)^{T} e \left(A^{T}\right)^{-1} para
A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 9 & 3 \end{array}\right) \text { e também para } A=\left(\begin{array}{ll} 1 & c \\ c & 0 \end{array}\right) .é

Passo 1

O enunciado pede para, dado cada matriz A de ordem 2, encontrar
  1. o transposto \,A^T,
  2. a inversa \,A^{-1} (quando existir),
  3. o transposto da inversa \,(A^{-1})^T e
  4. a inversa do transposto \,(A^T)^{-1}.
Vamos usar a definição de transposta (trocar linhas por colunas) e a fórmula da inversa de matriz 2\times2:
\text{se }A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},\quad \det(A)=ad-bc,\quad A^{-1}=\frac1{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix},
válida quando \det(A)\neq0. Também vale a propriedade (A^{-1})^T=(A^T)^{-1}.

Passo 2

Para A=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 9 & 3\end{pmatrix}:
  • Transposto:
A^T = \begin{pmatrix}1 & 9\\\ 0 & 3\end{pmatrix}.
  • Determinante:
\det(A)=1\cdot3-0\cdot9=3\neq0,
logo A é invertível.
  • Inversa usando a fórmula:
A^{-1}=\frac1{3}\begin{pmatrix}3 & 0\\\\ -9 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\\ -3 & \tfrac13\end{pmatrix}.

Passo 3

Ainda para A=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 9 & 3\end{pmatrix}:
  • Transposto da inversa:
(A^{-1})^T =\begin{pmatrix}1 & -3\\\ 0 & \tfrac13\end{pmatrix}.
  • Inversa do transposto (pela propriedade ou cálculo direto):
(A^T)^{-1} =\bigl(A^{-1}\bigr)^T =\begin{pmatrix}1 & -3\\\ 0 & \tfrac13\end{pmatrix}.

Passo 4

Para A=\begin{pmatrix}1 & c\\\ c & 0\end{pmatrix}:
  • Transposto (note que esta é matriz simétrica):
A^T=\begin{pmatrix}1 & c\\\ c & 0\end{pmatrix}=A.
  • Determinante:
\det(A)=1\cdot0 - c\cdot c = -c^2.
Para c\neq0, \det(A)\neq0 e A é invertível.

Passo 5

Ainda para A=\begin{pmatrix}1 & c\\\ c & 0\end{pmatrix} com c\neq0:
  • Inversa:
A^{-1} =\frac1{-c^2}\begin{pmatrix}0 & -c\\\\ -c & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & \tfrac1c\\[4pt]\tfrac1c & -\tfrac1{c^2}\end{pmatrix}.
  • Transposto da inversa:
(A^{-1})^T =\begin{pmatrix}0 & \tfrac1c\\[4pt]\tfrac1c & -\tfrac1{c^2}\end{pmatrix} \quad(\text{permanece igual}).
  • Inversa do transposto:
(A^T)^{-1} =\bigl(A^{-1}\bigr)^T =\begin{pmatrix}0 & \tfrac1c\\[4pt]\tfrac1c & -\tfrac1{c^2}\end{pmatrix}.]

Resposta

Para A=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 9 & 3\end{pmatrix}:
A^T=\begin{pmatrix}1 & 9\\\ 0 & 3\end{pmatrix},
A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ -3 & \tfrac13\end{pmatrix},
(A^{-1})^T=\begin{pmatrix}1 & -3\\\ 0 & \tfrac13\end{pmatrix},
(A^T)^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -3\\\ 0 & \tfrac13\end{pmatrix}.
Para A=\begin{pmatrix}1 & c\c & 0\end{pmatrix} com c\neq0:
A^T=\begin{pmatrix}1 & c\c & 0\end{pmatrix},
A^{-1}=\begin{pmatrix}0 & \tfrac1c\\[4pt]\tfrac1c & -\tfrac1{c^2}\end{pmatrix},
(A^{-1})^T=\begin{pmatrix}0 & \tfrac1c\\[4pt]\tfrac1c & -\tfrac1{c^2}\end{pmatrix},
(A^T)^{-1}=\begin{pmatrix}0 & \tfrac1c\\[4pt]\tfrac1c & -\tfrac1{c^2}\end{pmatrix}.]

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