Sabendo-se que 0 \leq b \leq c, c \neq 0, e
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}a x \sin \frac{b}{c y}, & y \neq 0 \\\ 0, & y=0\end{array}\right.
calcule os seguintes limites, se existirem:
(b) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{a x y}{b x^{2}+c y^{2}} ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{a x y}{b x^{2}+c y^{2}}
nas condições 0 \le b \le c e c \neq 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • a,b,c são constantes (não foram dados valores numéricos explícitos).
  • b e c satisfazem 0 \le b \le c e c\neq0.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
    A tarefa é decidir se o limite existe e, se sim, encontrar seu valor.

Passo 2

Estratégia didática: para limites de funções de duas variáveis na origem costuma ser muito útil passar para coordenadas polares. Vou explicar o porquê e como fazer isso com calma.
Breve aula: coordenadas polares
  • Qualquer ponto (x,y) (exceto a origem) pode ser escrito como x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta, onde r\ge0 é a distância à origem e \theta é a direção (ângulo).
  • O limite (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to 0^+ enquanto \theta varia.
  • Se, após substituir x e y por r\cos\theta e r\sin\theta, a expressão resultante tende a um valor que depende de \theta, então o limite não existe (porque diferentes direções \theta dão valores diferentes). Se a expressão resultar em algo que só depende de r e tende a um valor único quando r\to0, então o limite existe e é esse valor.
Aplicaremos essa ideia ao nosso quociente.

Passo 3

Faço a substituição polar x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta. Então
\frac{a x y}{b x^{2}+c y^{2}} = \frac{a (r\cos\theta)(r\sin\theta)}{b (r\cos\theta)^{2} + c (r\sin\theta)^{2}}.
Desenvolvendo os quadrados e fatorando r^{2} do denominador e do numerador:
\frac{a r^{2}\cos\theta\sin\theta}{r^{2}\bigl(b\cos^{2}\theta + c\sin^{2}\theta\bigr)} = \frac{a\cos\theta\sin\theta}{b\cos^{2}\theta + c\sin^{2}\theta},
para r>0. Observe que o fator r^{2} cancelou completamente.

Passo 4

Interpretação do resultado polar: após cancelar r^{2} obtivemos
\frac{a\cos\theta\sin\theta}{b\cos^{2}\theta + c\sin^{2}\theta},
que não depende de r — isto é, ao aproximar a origem o valor do quociente tende para um valor que só depende da direção \theta. Isso significa que o limite, se existir, teria que ser o mesmo para todas as direções \theta.
Agora mostro que esse valor depende, em geral, de \theta, portanto o limite não existe para valores gerais de a. Exemplo direto com duas direções:
  • Direção ao longo do eixo y=0 corresponde a \theta=0. Substituindo \theta=0 na expressão acima:
\frac{a\cos 0\sin 0}{b\cos^{2}0 + c\sin^{2}0} = \frac{a\cdot 1\cdot 0}{b\cdot 1 + c\cdot 0} = 0.
  • Direção y=x corresponde a \theta=\pi/4. Substituindo \theta=\pi/4:
\frac{a\cos(\pi/4)\sin(\pi/4)}{b\cos^{2}(\pi/4) + c\sin^{2}(\pi/4)} = \frac{a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{b\cdot\frac{1}{2} + c\cdot\frac{1}{2}} = \frac{a\cdot\frac{1}{2}}{\frac{b+c}{2}} = \frac{a}{b+c}.
Se a\neq 0, as duas direções deram valores distintos: 0 e \dfrac{a}{b+c}. Como c\neq0 e b\ge0 temos b+c\neq0, então \dfrac{a}{b+c} é bem definido; e para a\neq0 esse valor não é zero, logo diferente de 0. Assim o limite depende da direção e, portanto, não existe quando a\neq0.
Por outro lado, se a=0 a função é identicamente zero (o numerador é zero para todo (x,y)), então o limite vale 0.

Passo 5

Conclusão clara e curta: o limite não existe em geral, porque o valor depende da direção de aproximação. A única exceção é quando a=0, caso em que o numerador é zero e o limite é 0.

Resposta

O limite não existe, exceto no caso a=0, em que o limite é 0.

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