Sabendo-se que
, e
calcule os seguintes limites, se existirem:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
nas condições
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
são constantes (não foram dados valores numéricos explícitos). -
e satisfazem e . - O ponto de interesse é
.
A tarefa é decidir se o limite existe e, se sim, encontrar seu valor.
Passo 2
Estratégia didática: para limites de funções de duas variáveis na origem costuma ser muito útil passar para coordenadas polares. Vou explicar o porquê e como fazer isso com calma.
Breve aula: coordenadas polares
- Qualquer ponto
(exceto a origem) pode ser escrito como , onde é a distância à origem e é a direção (ângulo). - O limite
corresponde a enquanto varia. - Se, após substituir
e por e , a expressão resultante tende a um valor que depende de , então o limite não existe (porque diferentes direções dão valores diferentes). Se a expressão resultar em algo que só depende de e tende a um valor único quando , então o limite existe e é esse valor.
Aplicaremos essa ideia ao nosso quociente.
Passo 3
Faço a substituição polar
. Então
Desenvolvendo os quadrados e fatorando
do denominador e do numerador:
para
. Observe que o fator
cancelou completamente.
Passo 4
Interpretação do resultado polar: após cancelar
obtivemos
que não depende de
— isto é, ao aproximar a origem o valor do quociente tende para um valor que só depende da direção
. Isso significa que o limite, se existir, teria que ser o mesmo para todas as direções
.
Agora mostro que esse valor depende, em geral, de
, portanto o limite não existe para valores gerais de
. Exemplo direto com duas direções:
- Direção ao longo do eixo
corresponde a . Substituindo na expressão acima:
- Direção
corresponde a . Substituindo :
Se
, as duas direções deram valores distintos:
e
. Como
e
temos
, então
é bem definido; e para
esse valor não é zero, logo diferente de
. Assim o limite depende da direção e, portanto, não existe quando
.
Por outro lado, se
a função é identicamente zero (o numerador é zero para todo
), então o limite vale
.
Passo 5
Conclusão clara e curta: o limite não existe em geral, porque o valor depende da direção de aproximação. A única exceção é quando
, caso em que o numerador é zero e o limite é
.
Resposta
O limite não existe, exceto no caso
, em que o limite é
.