- Um balão esférico está sendo inflado com ar. O volume do balão cresce a uma taxa constante de
. Determine a taxa de variação do raio quando o raio do balão é 2 metros.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Informação: a taxa de variação do volume é
. - Informação: queremos a taxa de variação do raio quando o raio vale
. - Pedido: determinar
no instante em que .
Passo 2
Fórmula que relaciona volume e raio de uma esfera:
onde
-
é o volume da esfera (em ); -
é o raio da esfera (em ); -
é a constante geométrica (aprox. ).
Explicação rápida: essa fórmula vem da geometria da esfera; aqui vai usar-se essa relação para ligar a variação do volume com a variação do raio.
Passo 3
Como tanto
quanto
variam com o tempo
, ao diferenciar a relação
em relação a
usa-se a regra da cadeia (chain rule). Regra da cadeia (em palavras): se
depende de
e
depende de
, então
.
Aplicando isso, primeiro calcule
. A derivada de
em relação a
é
. Portanto:
Passo 4
Usando a regra da cadeia:
Esta é a relação que liga a taxa de variação do volume
com a taxa de variação do raio
.
Passo 5
Isolando
na relação anterior:
Comentário sobre unidades: o numerador tem unidades
e o denominador tem
, logo o resultado terá unidade
, que é coerente para uma velocidade de crescimento do raio.
Passo 6
Substituindo os valores dados:
e
:
Calcule passo a passo:
logo
A unidade é
.
Passo 7
Interpretação rápida:
indica que o raio está aumentando (o balão está inflando). O valor
significa que, naquele instante, o raio cresce
a cada minuto.