1. Um balão esférico está sendo inflado com ar. O volume do balão cresce a uma taxa constante de 12 \pi \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. Determine a taxa de variação do raio quando o raio do balão é 2 metros.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Informação: a taxa de variação do volume é \dfrac{dV}{dt}=12\pi\\ \text{m}^3/\text{min}.
  • Informação: queremos a taxa de variação do raio quando o raio vale r=2\\ \text{m}.
  • Pedido: determinar \dfrac{dr}{dt} no instante em que r=2\\ \text{m}.

Passo 2

Fórmula que relaciona volume e raio de uma esfera:
V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3},
onde
  • V é o volume da esfera (em \text{m}^3);
  • r é o raio da esfera (em \text{m});
  • \pi é a constante geométrica (aprox. 3{,}1415\dots).
Explicação rápida: essa fórmula vem da geometria da esfera; aqui vai usar-se essa relação para ligar a variação do volume com a variação do raio.

Passo 3

Como tanto V quanto r variam com o tempo t, ao diferenciar a relação V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3} em relação a t usa-se a regra da cadeia (chain rule). Regra da cadeia (em palavras): se V depende de r e r depende de t, então \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}.
Aplicando isso, primeiro calcule \dfrac{d}{dr}\!\left(\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\right). A derivada de r^{3} em relação a r é 3r^{2}. Portanto:
\frac{dV}{dr}=\frac{4}{3}\pi\cdot 3r^{2}=4\pi r^{2}.

Passo 4

Usando a regra da cadeia:
\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=4\pi r^{2}\cdot\frac{dr}{dt}.
Esta é a relação que liga a taxa de variação do volume \dfrac{dV}{dt} com a taxa de variação do raio \dfrac{dr}{dt}.

Passo 5

Isolando \dfrac{dr}{dt} na relação anterior:
\frac{dr}{dt}=\frac{\dfrac{dV}{dt}}{4\pi r^{2}}.
Comentário sobre unidades: o numerador tem unidades \text{m}^3/\text{min} e o denominador tem \text{m}^2, logo o resultado terá unidade \text{m}/\text{min}, que é coerente para uma velocidade de crescimento do raio.

Passo 6

Substituindo os valores dados: \dfrac{dV}{dt}=12\pi e r=2:
\frac{dr}{dt}=\frac{12\pi}{4\pi(2)^{2}}.
Calcule passo a passo:
(2)^{2}=4, \qquad 4\pi\cdot 4=16\pi,
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\frac{dr}{dt}=\frac{12\pi}{16\pi}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}=0{,}75.
A unidade é \text{m}/\text{min}.

Passo 7

Interpretação rápida: \dfrac{dr}{dt}>0 indica que o raio está aumentando (o balão está inflando). O valor \dfrac{3}{4}\\ \text{m}/\text{min} significa que, naquele instante, o raio cresce 0{,}75\\ \text{m} a cada minuto.

Resposta

\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{3}{4}\\ \text{m}/\text{min}

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