Sabendo-se que
lim x 0 sen xx=1
com x representando medida de ângulo em radianos (ou equivalentemente, a medida do comprimento do arco determinado pelo ângulo x no círculo trigonométrico), calcule o valor do limite abaixo:
lim x 0 x^21-cos x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um limite que precisamos calcular:
lim x 0 x^21-cos x
Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, um tópico fundamental no estudo de cálculo diferencial. Para resolver esse limite, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e propriedades de limites, especialmente aquelas envolvendo as funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma das identidades trigonométricas fundamentais:
1 - cos x = 2 sin^2(x2)
Essa identidade nos ajuda a simplificar a expressão que está no denominador do nosso limite.

Passo 3

Vamos substituir 1 - cos x na nossa expressão original usando a identidade que acabamos de lembrar:
x^21-cos x = x^22 sin^2(x2)
Agora, a expressão ficou um pouco mais manejável para trabalharmos.

Passo 4

Queremos simplificar ainda mais. Vamos reescrever a fração dividindo o numerador e o denominador por x^2:
x^22 sin^2(x2) = 12 ( xsin(x2) )^2
Isso nos permite focar na parte xsin(x2), que é semelhante à forma sin xx que conhecemos o limite.

Passo 5

Sabemos que:
limx to 0 sin xx = 1
Vamos usar essa informação para avaliar o limite da nossa expressão. Vamos reescrever xsin(x2) como:
xsin(x2) = 2 cdot x2sin(x2) = 2 cdot x2sin(x2)

Passo 6

Agora, aplicando o limite conhecido:
limx to 0 x2sin(x2) = 1
Portanto:
limx to 0 xsin(x2) = 2 cdot 1 = 2

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
12 ( xsin(x2) )^2
Sabendo que $\frac{x}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} $ tende a 2, temos:
xsin(x2)

Resposta

O valor do limite é 2.

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