Sabendo-se que
com
representando medida de ângulo em radianos (ou equivalentemente, a medida do comprimento do arco determinado pelo ângulo
no círculo trigonométrico), calcule o valor do limite abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um limite que precisamos calcular:
Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, um tópico fundamental no estudo de cálculo diferencial. Para resolver esse limite, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e propriedades de limites, especialmente aquelas envolvendo as funções seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma das identidades trigonométricas fundamentais:
Essa identidade nos ajuda a simplificar a expressão que está no denominador do nosso limite.
Passo 3
Vamos substituir
na nossa expressão original usando a identidade que acabamos de lembrar:
Agora, a expressão ficou um pouco mais manejável para trabalharmos.
Passo 4
Queremos simplificar ainda mais. Vamos reescrever a fração dividindo o numerador e o denominador por
:
Isso nos permite focar na parte
, que é semelhante à forma
que conhecemos o limite.
Passo 5
Sabemos que:
Vamos usar essa informação para avaliar o limite da nossa expressão. Vamos reescrever
como:
Passo 6
Agora, aplicando o limite conhecido:
Portanto:
Passo 7
Voltando à nossa expressão original:
Sabendo que $\frac{x}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} $ tende a 2, temos:
Resposta
O valor do limite é 2.