Sabendo-se que
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2 A+x)^{3}-3 B}{A x}=3
pode-se deduzir que o valor de B é:
a) 3
b) 4
c) 6
d) 9
e) 12

Passo 1

O enunciado nos dá o limite
\lim_{x\to 0}\frac{(2A+x)^{3}-3B}{A x}=3.
Queremos deduzir o valor de B. Informações relevantes:
  • A expressão depende de constantes A e B (assume‑se A\neq 0 para que o denominador não seja identicamente nulo).
  • O limite quando x\to 0 existe e vale 3.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico de B.

Passo 2

Entendimento da técnica a usar (sem resolver ainda): quando aparece um limite do tipo
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-C}{x},
uma observação útil é que, se f é diferenciável em 0, então
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0).
Se em vez de f(0) houver uma constante qualquer C, para que o limite seja finito é necessário que C=f(0) (caso contrário aparece um termo constante dividido por x que diverge). Aqui f(x)=(2A+x)^3 e C=3B. Portanto, para o limite ser finito devemos ter 3B=f(0)=(2A)^3. Vou usar essa ideia: anular a parte constante do numerador em x=0, e então usar a derivada para obter o valor do limite.

Passo 3

Calcular f(0) e impor que o termo constante do numerador seja zero.
f(x)=(2A+x)^3 então
f(0)=(2A)^3=8A^3.
Para evitar divergência ao dividir por A x quando x\to 0, é necessário que o termo independente de x no numerador seja zero, isto é
8A^3-3B=0.
Dessa igualdade segue
B=\frac{8A^3}{3}.

Passo 4

Com 3B=8A^3 a expressão do limite simplifica: o numerador passa a ter ordem x (sem termo constante), então podemos obter o limite pela derivada em x=0 ou pela expansão em série. Vou calcular a derivada f'(x) e avaliar em 0.
f(x)=(2A+x)^3 \quad\Rightarrow\quad f'(x)=3(2A+x)^2.
Logo
f'(0)=3(2A)^2=12A^2.

Passo 5

Transformar o limite em termos de f'(0). Sabendo que 3B=f(0), temos, para A\neq 0,
\lim_{x\to 0}\frac{(2A+x)^{3}-3B}{A x} =\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{A x} =\frac{f'(0)}{A}.
Substituindo f'(0)=12A^2 obtemos
\frac{f'(0)}{A}=\frac{12A^2}{A}=12A.

Passo 6

Impor que o limite vale 3. Assim
12A=3.
Resolvendo para A:
A=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.

Passo 7

Agora usar o valor de A para obter B usando B=\dfrac{8A^3}{3}.
Calculemos A^3:
A^3=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}.
Então
B=\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{64}=\frac{8}{192}=\frac{1}{24}.

Passo 8

Interpretação final: o único valor de B compatível com a existência do limite e seu valor igual a 3 é B=\dfrac{1}{24}.

Resposta

\displaystyle B=\frac{1}{24}

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