Sabendo-se que
pode-se deduzir que o valor de
é:
a) 3
b) 4
c) 6
d) 9
e) 12
a) 3
b) 4
c) 6
d) 9
e) 12
Passo 1
O enunciado nos dá o limite
Queremos deduzir o valor de
. Informações relevantes:
- A expressão depende de constantes
e (assume‑se para que o denominador não seja identicamente nulo). - O limite quando
existe e vale . - O objetivo é encontrar o valor numérico de
.
Passo 2
Entendimento da técnica a usar (sem resolver ainda): quando aparece um limite do tipo
uma observação útil é que, se
é diferenciável em
, então
Se em vez de
houver uma constante qualquer
, para que o limite seja finito é necessário que
(caso contrário aparece um termo constante dividido por
que diverge). Aqui
e
. Portanto, para o limite ser finito devemos ter
. Vou usar essa ideia: anular a parte constante do numerador em
, e então usar a derivada para obter o valor do limite.
Passo 3
Calcular
e impor que o termo constante do numerador seja zero.
Para evitar divergência ao dividir por
quando
, é necessário que o termo independente de
no numerador seja zero, isto é
Dessa igualdade segue
Passo 4
Com
a expressão do limite simplifica: o numerador passa a ter ordem
(sem termo constante), então podemos obter o limite pela derivada em
ou pela expansão em série. Vou calcular a derivada
e avaliar em
.
Logo
Passo 5
Transformar o limite em termos de
. Sabendo que
, temos, para
,
Substituindo
obtemos
Passo 6
Impor que o limite vale
. Assim
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora usar o valor de
para obter
usando
.
Calculemos :
Calculemos
Então
Passo 8
Interpretação final: o único valor de
compatível com a existência do limite e seu valor igual a
é
.