Sabendo que \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, determine:
\lim _{x \rightarrow 0}(1+a x)^{\frac{b}{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \lim_{x\to0}(1+ax)^{\frac{b}{x}}.
É um limite do tipo “ 1+ coisa pequena” elevado a algo que tende a infinito, lembrando a definição de e. Vamos usar o truque de tomar logaritmo e o fato de que
\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.

Passo 2

Defina
\displaystyle L=\lim_{x\to0}(1+ax)^{\frac{b}{x}}.
Tomando o logaritmo natural,
\ln L =\lim_{x\to0}\frac{b}{x}\,\ln(1+ax).

Passo 3

Reescrevendo o termo dentro do limite,
\frac{b}{x}\,\ln(1+ax) =b\;\frac{\ln(1+ax)}{ax}\;\cdot a.
Como \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+ax)}{ax}=1, segue que
\displaystyle \ln L=ba.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados, obtemos
\displaystyle L=e^{ba}.

Resposta

\displaystyle e^{ab}

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