Sabendo que \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, determine:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado dá como conhecido que
\lim_{x \to \infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)^{x}=e,
e pede para calcular
\lim_{x \to \infty}\Bigl(1+\tfrac{k}{x}\Bigr)^{x}.
O conteúdo aqui é usar a transformação logarítmica de limites do tipo f(x)^{g(x)} e a continuidade da função exponencial.

Passo 2

Defina
y(x)=\Bigl(1+\tfrac{k}{x}\Bigr)^{x},
e considere o logaritmo natural:
\ln y(x) = x\,\ln\!\Bigl(1+\tfrac{k}{x}\Bigr).

Passo 3

Para x\to\infty, temos \tfrac{k}{x}\to0 e, usando o limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1,
ponha u=k/x. Então
\ln y(x) = x\;\ln\!\Bigl(1+\tfrac{k}{x}\Bigr) = x\;\frac{\ln(1+u)}{u}\;u \;\longrightarrow\;1\cdot k = k.

Passo 4

Como \ln y(x)\to k, pela continuidade da exponencial segue
y(x)=e^{\ln y(x)}\longrightarrow e^{k}.

Resposta

\lim_{x \to \infty}\Bigl(1+\tfrac{k}{x}\Bigr)^{x} = e^{k}.

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