Sabendo que \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, determine:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1-\tfrac{1}{x}\Bigr)^{x}
sabendo que
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)^{x}=e.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites de tipo indeterminado 1^{\infty}. Vamos usar a técnica de transformação via logaritmo para resolver.

Passo 2

Defina
L = \lim_{x\to\infty}\Bigl(1-\tfrac{1}{x}\Bigr)^{x}.
Se L>0, podemos tomar o logaritmo de forma segura e depois retornar exponenciando. Calculemos
\ln L = \lim_{x\to\infty} \ln\Bigl[\bigl(1-\tfrac{1}{x}\bigr)^{x}\Bigr] = \lim_{x\to\infty} x\,\ln\Bigl(1-\tfrac{1}{x}\Bigr).

Passo 3

Examinamos o limite
\lim_{x\to\infty} x\,\ln\Bigl(1-\tfrac{1}{x}\Bigr).
Para u=\tfrac{1}{x} temos u\to0^+ quando x\to\infty e x=\tfrac{1}{u}. Assim
x\,\ln\Bigl(1-\tfrac{1}{x}\Bigr) = \frac{1}{u}\,\ln(1-u).
O limite \lim_{u\to0^+}\tfrac{\ln(1-u)}{u} é -1 (conhecido ou usando expansão \ln(1-u)=-u+o(u)). Logo
\ln L = -1.

Passo 4

Retornando à base do limite, obtemos
L = e^{\ln L} = e^{-1} = \frac{1}{e}.

Resposta

\lim_{x\to\infty}\Bigl(1-\tfrac{1}{x}\Bigr)^{x} = \frac{1}{e}.

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