Sabendo que \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, determine:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{x+2}{x+1}\Bigr)^{x},
sabendo que
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac1x\Bigr)^{x}=e.
Esse é um problema de tipo exponencial que se resolve comparando com a forma clássica \bigl(1+\tfrac1t\bigr)^t.

Passo 2

Observe que
\frac{x+2}{x+1} =1+\frac{1}{x+1}.
Logo podemos reescrever a expressão como
\Bigl(\frac{x+2}{x+1}\Bigr)^{x} =\Bigl(1+\frac{1}{x+1}\Bigr)^{x}.

Passo 3

Para usar o limite conhecido, introduzimos o expoente x+1:
\Bigl(1+\frac{1}{x+1}\Bigr)^{x} =\frac{\Bigl(1+\frac{1}{x+1}\Bigr)^{\,x+1}}{1+\frac{1}{x+1}}.
Isso separa um fator que converge a e do denominador.

Passo 4

Agora tomamos limite em ambas as partes:
  • Pelo limite clássico,
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x+1}\Bigr)^{\,x+1}=e.
  • E claramente
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x+1}\Bigr)=1.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{x+2}{x+1}\Bigr)^{x} =\frac{e}{1}=e.

Resposta

e

Exercícios relacionados