Calcule os limites abaixo, se existirem.
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}-\frac{1}{1^{2}+1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede o valor do limite \displaystyle \lim_{t\to 0} \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{1^{2}+1}\right).
  • Do enunciado temos a expressão inteira; consigo simplificar a constante:
\frac{1}{1^{2}+1}=\frac{1}{2}.
Logo o limite a estudar é
\lim_{t\to 0}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2}\right).

Passo 2

Entender o comportamento do termo \dfrac{1}{t} quando t se aproxima de 0.
  • Se t se aproxima de 0 vindo pela direita (isto é, t\to 0^+), então t>0 e muito pequeno, logo \dfrac{1}{t} fica muito grande e positivo. Formalmente:
\lim_{t\to 0^+}\frac{1}{t}=+\infty.
  • Se t se aproxima de 0 vindo pela esquerda (isto é, t\to 0^-), então t<0 e com valor absoluto muito pequeno, logo \dfrac{1}{t} fica muito grande em módulo, mas negativo. Formalmente:
\lim_{t\to 0^-}\frac{1}{t}=-\infty.
Explicação rápida: dividir por um número positivo muito pequeno dá um número positivo muito grande; dividir por um negativo muito pequeno dá um número negativo muito grande em módulo.

Passo 3

O efeito de subtrair a constante \dfrac{1}{2} de uma função que diverge para \pm\infty.
  • Se uma função f(t) tende a +\infty quando t\to 0^+, então f(t)-\dfrac{1}{2} também tende a +\infty: uma constante finita não altera a divergência para infinito.
  • Se uma função f(t) tende a -\infty quando t\to 0^-, então f(t)-\dfrac{1}{2} também tende a -\infty.
Aplicando ao nosso caso:
\lim_{t\to 0^+}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2}\right)=+\infty, \qquad \lim_{t\to 0^-}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2}\right)=-\infty.

Passo 4

Conclusão final sobre o limite bilateral \displaystyle \lim_{t\to 0}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2}\right).
  • Para existir o limite quando t\to 0 (bilateral), os limites laterais devem ser iguais e finitos.
  • Aqui os limites laterais são diferentes ( +\infty e -\infty) e não finitos, portanto o limite bilateral não existe — a expressão diverge.
Segue uma dica para a prova: ao ver termos do tipo \dfrac{1}{t} quando t\to 0, já pense em limites laterais; se eles forem infinidades de sinais opostos, o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe. \displaystyle \lim_{t\to 0^+}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2}\right)=+\infty e \displaystyle \lim_{t\to 0^-}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2}\right)=-\infty.

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