Sabendo que \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, determine:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\tfrac{x+2}{x+1}\Bigr)^{x}
e nos dá como ferramenta o limite fundamental
\lim_{t\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1t\Bigr)^{t}=e.

Passo 2

Observe que
\frac{x+2}{x+1} =1+\frac{1}{x+1},
portanto
\Bigl(\tfrac{x+2}{x+1}\Bigr)^{x} =\Bigl(1+\tfrac{1}{x+1}\Bigr)^{x}.

Passo 3

Para usar o limite conhecido, note que
\Bigl(1+\tfrac{1}{x+1}\Bigr)^{x+1}\;\longrightarrow\;e \quad\text{quando }x\to\infty.

Passo 4

Podemos relacionar as potências assim:
\Bigl(1+\tfrac{1}{x+1}\Bigr)^{x} =\Bigl(1+\tfrac{1}{x+1}\Bigr)^{x+1} \;\times\;\Bigl(1+\tfrac{1}{x+1}\Bigr)^{-1}.

Passo 5

Ao fazer x\to\infty:
  • \bigl(1+\tfrac{1}{x+1}\bigr)^{x+1}\to e.
  • \bigl(1+\tfrac{1}{x+1}\bigr)^{-1}\to1.
    Logo o produto tende a e\cdot1=e.

Resposta

\lim_{x\to\infty}\Bigl(\tfrac{x+2}{x+1}\Bigr)^{x}=e.

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