Sabendo que o limite lim x +infty(cos 2x)^x^2=L determine ln L. Dica: Use o Teorema de LHôspital.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite limx to +infty ( cos 2x )^x^2 = L e determinar ln L. O conteúdo envolve limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de L’Hôpital e algumas propriedades dos logaritmos e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o limite para facilitar o cálculo. Sabemos que ( cos 2x )^x^2 é uma expressão do tipo 1^infty quando x tende a +infinito, o que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos usar o logaritmo natural para transformar a expressão exponencial em uma multiplicação.

Passo 3

Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados do limite:
ln L = limx to +infty x^2 cdot ln ( cos 2x )
Agora, precisamos calcular esse novo limite.

Passo 4

Observe que quando x tende a +infinito, 2x tende a 0. Podemos usar a expansão em série de Taylor para a função cos z próximo de z = 0:
cos z approx 1 - z^22
Substituindo z = 2x:
cos 2x approx 1 - ( 2x )^22 = 1 - 2x^2

Passo 5

Agora, substituímos essa aproximação na expressão do logaritmo:
ln ( cos 2x ) approx ln ( 1 - 2x^2 )
Para y próximo de 0, sabemos que ln(1 + y) approx y. Aplicando isso:
ln ( 1 - 2x^2 ) approx -2x^2

Passo 6

Substituindo essa aproximação no limite de ln L:
ln L = limx to +infty x^2 cdot ( -2x^2 ) = limx to +infty -2 = -2

Resposta

ln L = -2

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