Sabendo que o limite
determine
. Dica: Use o Teorema de LHôspital.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite
e determinar
. O conteúdo envolve limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de L’Hôpital e algumas propriedades dos logaritmos e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o limite para facilitar o cálculo. Sabemos que
é uma expressão do tipo
quando
tende a +infinito, o que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos usar o logaritmo natural para transformar a expressão exponencial em uma multiplicação.
Passo 3
Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados do limite:
Agora, precisamos calcular esse novo limite.
Passo 4
Observe que quando
tende a +infinito,
tende a 0. Podemos usar a expansão em série de Taylor para a função
próximo de
:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, substituímos essa aproximação na expressão do logaritmo:
Para
próximo de 0, sabemos que
. Aplicando isso:
Passo 6
Substituindo essa aproximação no limite de
: