Determine o valor da integral definida
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a integral de $ x + 2\sqrt{x} + 1 + \frac{4}{\sqrt{x}} $ em relação a $ x $. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente à integração de funções polinomiais e radicais. Para resolver, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo $ x $. A integral de $ x $ em relação a $ x $ é bem direta. A regra básica é que a integral de $ x^n $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Aqui, $ n = 1 $, então:
Passo 3
Agora, vamos para o próximo termo: $ 2\sqrt{x} $. Lembra que $ \sqrt{x} $ é o mesmo que $ x^{\frac{1}{2}} $. Aplicando a regra da potência:
Passo 4
Seguimos para o termo constante $ 1 $. A integral de uma constante é apenas a constante multiplicada por $ x $:
Passo 5
Por último, temos $ \frac{4}{\sqrt{x}} $. Podemos reescrever isso como $ 4x^{-\frac{1}{2}} $. Aplicando a regra da potência novamente:
Resposta
Juntando todas as integrais que calculamos, a solução completa é:
Portanto, a opção correta é: