Ache uma solução singular para as equações diferenciais a seguir:
\left(e^{x}+e^{-x}\right) \frac{d y}{d x}=y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução singular da equação diferencial
\left(e^{x}+e^{-x}\right)\frac{dy}{dx}=y^{2}.
Informações dadas e o que precisamos identificar:
  • A equação relaciona y e x por \left(e^{x}+e^{-x}\right)\dfrac{dy}{dx}=y^{2}.
  • Precisamos achar uma solução singular: isto é, uma solução que satisfaça a equação diferencial mas que não pertença à família geral de soluções obtida integrando (ou que ocorra como envelope ou limite da família).

Passo 2

Vamos separar variáveis (técnica básica para equações separáveis). Primeiro observe que e^{x}+e^{-x}=2\operatorname{cosh} x>0 para todo x, então podemos dividir por esse termo sem problema. Reescrevendo a equação:
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}}{e^{x}+e^{-x}}.
Separando y de x:
\frac{dy}{y^{2}}=\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}.
Explicação didática: separar variáveis significa escrever todos os termos envolvendo y (incluindo dy) num lado e todos os termos envolvendo x (incluindo dx) no outro, para depois integrar cada lado independente.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Primeiro o lado em y:
\int \frac{dy}{y^{2}}=\int y^{-2}\,dy = -\frac{1}{y}+C_{1}.
Agora o lado em x. Note que
\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{e^{x}}{e^{2x}+1},
então
\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}=\int \frac{e^{x}\,dx}{e^{2x}+1}.
Fazemos a substituição simples t=e^{x}, então dt=e^{x}\,dx. Assim
\int \frac{e^{x}\,dx}{e^{2x}+1}=\int \frac{dt}{t^{2}+1}=\arctan t + C_{2}.
Voltando à variável x temos \arctan(e^{x})+C_{2}.

Passo 4

Igualando as duas primitivas (absorvendo constantes numa só constante C) obtemos:
-\frac{1}{y}=\arctan(e^{x})+C.
Isolando y, a família geral de soluções é
y(x)=-\frac{1}{\arctan(e^{x})+C},
onde C é constante arbitrária. Observação: \arctan(e^{x}) toma valores em (0,\tfrac{\pi}{2}) para todo x\in\mathbb{R}, então para qualquer constante finita C o denominador \arctan(e^{x})+C é finito, e y nunca é identicamente zero.

Passo 5

Verificamos agora soluções singulares possíveis. Teste a função constante y\equiv 0. Se y=0 então \dfrac{dy}{dx}=0. Substituindo na equação original:
\left(e^{x}+e^{-x}\right)\cdot 0 = 0,
e o lado direito y^{2}=0. Logo y\equiv 0 satisfaz a equação diferencial — é uma solução.

Passo 6

Mostramos que y\equiv 0 é uma solução singular, ou seja, não pertence à família geral encontrada no Passo 4. A família geral é
y(x)=-\frac{1}{\arctan(e^{x})+C}.
Para qualquer constante finita C o denominador é finito (pois \arctan(e^{x})\in(0,\tfrac{\pi}{2})), então y(x) nunca é identicamente zero. Portanto não existe C finito que gere y\equiv 0. Assim y\equiv 0 é uma solução que não está na família geral — justamente a definição de solução singular neste contexto. (Observação alternativa: a eliminação pela condição de envelope falha porque a dependência em C é linear e \partial F/\partial C dá constante não nula, o que impede obter envelope; isso indica que a solução adicional pode aparecer como solução degenerada, aqui y=0.)

Resposta

y\equiv 0

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