Ache uma solução singular para as equações diferenciais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma solução singular da equação diferencial
Informações dadas e o que precisamos identificar:
- A equação relaciona
e por . - Precisamos achar uma solução singular: isto é, uma solução que satisfaça a equação diferencial mas que não pertença à família geral de soluções obtida integrando (ou que ocorra como envelope ou limite da família).
Passo 2
Vamos separar variáveis (técnica básica para equações separáveis). Primeiro observe que
para todo
, então podemos dividir por esse termo sem problema. Reescrevendo a equação:
Separando
de
:
Explicação didática: separar variáveis significa escrever todos os termos envolvendo
(incluindo
) num lado e todos os termos envolvendo
(incluindo
) no outro, para depois integrar cada lado independente.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Primeiro o lado em
:
Agora o lado em
. Note que
então
Fazemos a substituição simples
, então
. Assim
Voltando à variável
temos
.
Passo 4
Igualando as duas primitivas (absorvendo constantes numa só constante
) obtemos:
Isolando
, a família geral de soluções é
onde
é constante arbitrária. Observação:
toma valores em
para todo
, então para qualquer constante finita
o denominador
é finito, e
nunca é identicamente zero.
Passo 5
Verificamos agora soluções singulares possíveis. Teste a função constante
. Se
então
. Substituindo na equação original:
e o lado direito
. Logo
satisfaz a equação diferencial — é uma solução.
Passo 6
Mostramos que
é uma solução singular, ou seja, não pertence à família geral encontrada no Passo 4. A família geral é
Para qualquer constante finita
o denominador é finito (pois
), então
nunca é identicamente zero. Portanto não existe
finito que gere
. Assim
é uma solução que não está na família geral — justamente a definição de solução singular neste contexto. (Observação alternativa: a eliminação pela condição de envelope falha porque a dependência em
é linear e
dá constante não nula, o que impede obter envelope; isso indica que a solução adicional pode aparecer como solução degenerada, aqui
.)