Sabendo que a massa específica do etanol a 20^{\circ} \mathrm{C} é 789,34 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, calcule:
a. o volume molar do etanol a 20^{\circ} \mathrm{C};
b. a quantidade de matéria e a massa de etanol contida em um tambor de 200 \ell a 20^{\circ} \mathrm{C};
c. o peso específico do etanol (no Sl e no MKKfs), onde g=9,60 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre o etanol à 20^\circ\mathrm{C}. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:\n
Dados fornecidos:\n
A massa específica (densidade) do etanol a 20^\circ\mathrm{C} é \rho = 789,34\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.\n
A aceleração da gravidade a usar é g = 9,60\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.\n
O volume do tambor é 200\\ \ell (litros).\n
Pedidos:\n
a. Calcular o volume molar do etanol a 20^\circ\mathrm{C} (volume ocupado por \,1 mol de etanol).\n
b. Calcular a quantidade de matéria (número de mols) e a massa de etanol contida em um tambor de 200\\ \ell a 20^\circ\mathrm{C}.\n
c. Calcular o peso específico do etanol nos dois sistemas solicitados (no SI e no MKKfs) usando g=9,60\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.\n

Passo 2

Primeiro precisamos da massa molar do etanol para relacionar massa e mols. A fórmula do etanol é \mathrm{C_2H_5OH}, que tem: 2 átomos de carbono, 6 átomos de hidrogênio (contando o hidroxila) e 1 átomo de oxigênio.\n
Pegamos massas atômicas típicas (valores do quadro periódico): carbono 12,011\\ \mathrm{g/mol}, hidrogênio 1,008\\ \mathrm{g/mol}, oxigênio 15,999\\ \mathrm{g/mol}.\n
A massa molar M é a soma das massas atômicas multiplicadas pelo número de átomos:\n
M = 2\cdot 12,011 + 6\cdot 1,008 + 1\cdot 15,999 = 46,069\\ \mathrm{g/mol}.\n
Convertemos para \mathrm{kg/mol} (pois a densidade está em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3):\n
M = 46,069\\ \mathrm{g/mol} = 0,046069\\ \mathrm{kg/mol}.\n
Explicação didática: a massa molar diz quanto pesa um mol da substância. Para calcular volume molar usamos massa molar e densidade, então precisamos de M na mesma família de unidades da densidade (aqui \mathrm{kg}).\n

Passo 3

Fórmula do volume molar. O volume molar V_m é o volume ocupado por 1 mol; com densidade \rho (massa por volume) e massa molar M (massa por mol) temos:\n
V_m=\frac{M}{\rho}.\n
Aqui V_m terá unidades de \mathrm{m}^3/\mathrm{mol} se M está em \mathrm{kg/mol} e \rho em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.\n
Explicação didática: densidade é \rho = \dfrac{m}{V}. Para 1 mol, m=M, então V=\dfrac{M}{\rho}. Simples e direto na prova: massa molar sobre densidade.\n

Passo 4

Cálculo numérico do volume molar (parte a).\n
Usando os valores:\n
V_m=\frac{M}{\rho}=\frac{0,046069\\ \mathrm{kg/mol}}{789,34\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3}.\n
Fazendo a divisão:\n
V_m \approx 5,8306\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.\n
É comum expressar volume molar em \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}. Como 1\\ \mathrm{m}^3 = 10^{6}\\ \mathrm{cm}^3, temos:\n
V_m \approx 58,306\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}.\n
Comentário didático: na prova, se pedirem volume molar, responda em \mathrm{m}^3/\mathrm{mol} ou \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} conforme o costume da disciplina; aqui mostrei as duas formas.\n

Passo 5

Parte b — converter o volume do tambor e calcular a massa.\n
O tambor tem 200\\ \ell. Sabendo 1\\ \ell = 1\\ \mathrm{L} = 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3, então o volume em \mathrm{m}^3 é:\n
V_{\text{tambor}} = 200\\ \ell = 200\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3 = 0,200\\ \mathrm{m}^3.\n
A massa m do etanol é dada por m=\rho V. Aplicando:\n
m = 789,34\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\times 0,200\\ \mathrm{m}^3 = 157,868\\ \mathrm{kg}.\n
Explicação didática: densidade multiplicada pelo volume dá a massa. Na prova, converta sempre litros para \mathrm{m}^3 antes de multiplicar pela densidade em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.\n

Passo 6

Parte b — cálculo da quantidade de matéria (número de mols).\n
A quantidade de matéria n é a massa dividida pela massa molar:\n
n=\frac{m}{M}=\frac{157,868\\ \mathrm{kg}}{0,046069\\ \mathrm{kg/mol}}.\n
Fazendo a divisão:\n
n \approx 3426,77\\ \mathrm{mol}.\n
Comentário prático: sempre mantenha unidades consistentes ( \mathrm{kg} com \mathrm{kg/mol}) para que as \mathrm{kg} cancelem e reste \mathrm{mol}.\n

Passo 7

Parte c — definição e fórmula do peso específico.\n
Peso específico (também chamado de intensidade de peso) é o peso por unidade de volume. O peso de uma massa m é P=m\,g. Dividindo por volume obtemos o peso específico \gamma:\n
\gamma = \frac{P}{V} = \frac{m g}{V} = \rho\, g,\n
onde \rho é a massa específica ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3) e g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m}/\mathrm{s}^2).\n
Explicação didática: a unidade no SI para \gamma é \mathrm{N}/\mathrm{m}^3 porque \rho em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 multiplicado por g em \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\,/\mathrm{m}^3 = \mathrm{N}/\mathrm{m}^3.\n

Passo 8

Cálculo do peso específico no SI.\n
Aplicando \gamma=\rho g com os valores dados:\n
\gamma_{\text{SI}} = 789,34\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\times 9,60\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 7577,664\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3}.\n
Arredondando a um número prático:\n
\gamma_{\text{SI}} \approx 7{,}5777\times 10^{3}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3.\n

Passo 9

Cálculo do peso específico no MKKfs (sistema com unidade de força \mathrm{kgf}).\n
No sistema MKKfs (onde a unidade de força é o quilograma-força, \mathrm{kgf}), a conversão entre newton e quilograma-força usa o valor de g escolhido. Se tomarmos 1\\ \mathrm{kgf} como o peso de 1\\ \mathrm{kg} sob g=9{,}60\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2, então 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}60\\ \mathrm{N} no contexto deste exercício. Logo, para expressar \gamma em \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^3 basta dividir o valor em \mathrm{N}/\mathrm{m}^3 por 9{,}60:\n
\gamma_{\text{MKKfs}}=\frac{\gamma_{\text{SI}}}{9{,}60}=\frac{\rho\,g}{9{,}60}.\n
Como foi usada a mesma g para definir 1\\ \mathrm{kgf}, o resultado simplifica para a própria densidade em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3:\n
\gamma_{\text{MKKfs}} = \rho = 789,34\\ \frac{\mathrm{kgf}}{\mathrm{m}^3}.\n
Explicação didática: isso acontece porque em MKKfs o “quilograma-força” já incorpora o efeito de g. Assim o peso específico em \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^3 numericamente coincide com a densidade em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 quando se usa o mesmo g para definir o kgf.\n

Resposta

(a) V_m \approx 5{,}8306\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol} = 58{,}306\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}.\n
(b) n \approx 3426{,}77\\ \mathrm{mol}.\n
m \approx 157{,}868\\ \mathrm{kg}.\n
(c) \gamma_{\text{SI}} \approx 7{,}5777\times 10^{3}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3.\n
\gamma_{\text{MKKfs}} = 789{,}34\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^3.

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