Usando derivação, integração, desvio \boldsymbol{s} ou a convolução (e mostrand os detalhes do que fizer), encontre f(t) se \mathscr{L}(f) for igual a:
(20.) \operatorname{arccot} \frac{s}{\omega}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
Pediram para encontrar f(t) tal que a transformada de Laplace de f seja
\mathscr{L}\{f\}(s)=\operatorname{arccot}\!\bigl(\tfrac{s}{\omega}\bigr).
Informações relevantes do enunciado: temos a função F(s)=\operatorname{arccot}\!\bigl(\tfrac{s}{\omega}\bigr) (definida para s>0, \omega>0 sendo constante) e queremos f(t) para t\ge0. Não é pedido método específico, então usaremos propriedades padrão da transformada de Laplace (diferenciação em s) para achar f(t).

Passo 2

Calcular a derivada de F(s). Primeiro uso a regra da cadeia para F(s)=\operatorname{arccot}(u) com u=\tfrac{s}{\omega}. A derivada de \operatorname{arccot}(u) em relação a u é -\dfrac{1}{1+u^{2}}. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{ds}\operatorname{arccot}\!\bigl(\tfrac{s}{\omega}\bigr) = -\frac{1}{1+(s/\omega)^{2}}\cdot\frac{d}{ds}\bigl(\tfrac{s}{\omega}\bigr).
Como \dfrac{d}{ds}\bigl(\tfrac{s}{\omega}\bigr)=\tfrac{1}{\omega}, temos
\frac{d}{ds}\operatorname{arccot}\!\bigl(\tfrac{s}{\omega}\bigr) = -\frac{1}{\omega}\cdot\frac{1}{1+(s/\omega)^{2}} = -\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.

Passo 3

Usar a propriedade da transformada de Laplace relativa à diferenciação em s. Vou explicar e demonstrar isso passo a passo, porque é essencial e costuma cair em provas:
  • Definição: \mathscr{L}\{f\}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
  • Diferenciando sob o sinal de integral (justificável para funções de ordem exponencial), obtemos
\frac{d}{ds}\mathscr{L}\{f\}(s) = \frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt = \int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{-st}\bigr) f(t)\,dt = \int_{0}^{\infty}(-t)e^{-st}f(t)\,dt.
  • Portanto
\frac{d}{ds}\mathscr{L}\{f\}(s) = -\mathscr{L}\{t\,f(t)\}(s).
Essa é a identidade: derivar F(s) em s equivale a - transformar t f(t).

Passo 4

Aplicar a identidade ao nosso F(s). Temos calculado
\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\operatorname{arccot}\!\bigl(\tfrac{s}{\omega}\bigr) = -\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.
Pela identidade do passo anterior,
-\mathscr{L}\{t f(t)\}(s) = -\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.
Multiplicando por -1,
\mathscr{L}\{t f(t)\}(s) = \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.

Passo 5

Reconhecer a transformada conhecida no lado direito. Lembrando a transformada clássica (vou mostrar rapidamente como se obtém): para \sin(\omega t),
\mathscr{L}\{\sin(\omega t)\}(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(\omega t)\,dt = \Im\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i\omega)t}\,dt = \Im\Bigl(\frac{1}{s-i\omega}\Bigr) = \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.
Portanto a função cujo Laplace é \dfrac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} é \sin(\omega t). Assim concluímos
\mathscr{L}\{t f(t)\}(s)=\mathscr{L}\{\sin(\omega t)\}(s).

Passo 6

Usar a unicidade da transformada de Laplace. Como duas funções de ordem exponencial com mesma transformada de Laplace têm que coincidir quase sempre, obtemos
t f(t)=\sin(\omega t)\quad\text{para quase todo }t\ge0.
Dividindo por t (e observando que o limite em t\to0^{+} de \dfrac{\sin(\omega t)}{t} é \omega, então a função é bem comportada em 0), obtemos
f(t)=\frac{\sin(\omega t)}{t},\qquad t>0,
e podemos estender por continuidade em t=0 definindo f(0)=\omega se desejar. Isso dá a forma de f(t) procurada.

Passo 7

Verificação alternativa rápida (opcional e útil para a prova): calcular \mathscr{L}\{\sin(\omega t)/t\}(s) por diferenciação em s. Seja G(s)=\mathscr{L}\{\sin(\omega t)/t\}(s). Então
\frac{d}{ds}G(s) = -\mathscr{L}\{\sin(\omega t)\}(s) = -\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.
Integrando de s até +\infty e lembrando que G(s)\to0 quando s\to+\infty, obtemos
G(s)=\int_{s}^{\infty}\frac{\omega}{u^{2}+\omega^{2}}\,du = \lim_{U\to\infty}\bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{\omega}\bigr)\bigr]_{u=s}^{u=U} = \frac{\pi}{2}-\arctan\!\bigl(\tfrac{s}{\omega}\bigr).
E como \dfrac{\pi}{2}-\arctan\!\bigl(\tfrac{s}{\omega}\bigr)=\operatorname{arccot}\!\bigl(\tfrac{s}{\omega}\bigr), isto mostra diretamente que \mathscr{L}\{\sin(\omega t)/t\}(s)=\operatorname{arccot}\!\bigl(\tfrac{s}{\omega}\bigr), confirmando a resposta.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{\sin(\omega t)}{t} (para t>0; por continuidade f(0)=\omega).

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