Usando derivação, integração, desvio
ou a convolução (e mostrand os detalhes do que fizer), encontre
se
for igual a:
(20.)
(20.)
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
Pediram para encontrar tal que a transformada de Laplace de
seja
Pediram para encontrar
Informações relevantes do enunciado: temos a função
(definida para
,
sendo constante) e queremos
para
. Não é pedido método específico, então usaremos propriedades padrão da transformada de Laplace (diferenciação em
) para achar
.
Passo 2
Calcular a derivada de
. Primeiro uso a regra da cadeia para
com
. A derivada de
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia:
Como
, temos
Passo 3
Usar a propriedade da transformada de Laplace relativa à diferenciação em
. Vou explicar e demonstrar isso passo a passo, porque é essencial e costuma cair em provas:
- Definição:
- Diferenciando sob o sinal de integral (justificável para funções de ordem exponencial), obtemos
- Portanto
Essa é a identidade: derivar
em
equivale a
transformar
.
Passo 4
Aplicar a identidade ao nosso
. Temos calculado
Pela identidade do passo anterior,
Multiplicando por
,
Passo 5
Reconhecer a transformada conhecida no lado direito. Lembrando a transformada clássica (vou mostrar rapidamente como se obtém): para
,
Portanto a função cujo Laplace é
é
. Assim concluímos
Passo 6
Usar a unicidade da transformada de Laplace. Como duas funções de ordem exponencial com mesma transformada de Laplace têm que coincidir quase sempre, obtemos
Dividindo por
(e observando que o limite em
de
é
, então a função é bem comportada em
), obtemos
e podemos estender por continuidade em
definindo
se desejar. Isso dá a forma de
procurada.
Passo 7
Verificação alternativa rápida (opcional e útil para a prova): calcular
por diferenciação em
. Seja
. Então
Integrando de
até
e lembrando que
quando
, obtemos
E como
, isto mostra diretamente que
, confirmando a resposta.