Sendo A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 2}, onde a_{i j}=2 i-j, e B=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 2}, com b_{i j}=i^{2}+j calcule:
A B^{t}

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B de tamanho 3\times2 com entradas dadas por fórmulas:
  • A=\left(a_{ij}\right)_{3\times2} com a_{ij}=2i-j.
  • B=\left(b_{ij}\right)_{3\times2} com b_{ij}=i^{2}+j.
O que o exercício pede: calcular a matriz A B^{t}, onde B^{t} é a transposta de B.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As matrizes A e B têm dimensões 3\times2.
  • A transposta B^{t} terá dimensão 2\times3.
  • O produto A B^{t} será bem definido e resultará numa matriz 3\times3.

Passo 2

Verificar dimensões e fórmula geral do produto:
  • Se A é 3\times2 e B^{t} é 2\times3, então A B^{t} é 3\times3.
  • A fórmula componente a componente do produto é: para i=1,2,3 e k=1,2,3,
(AB^{t})_{ik}=\sum_{j=1}^{2} a_{ij}\,(B^{t})_{jk}.
Explicando os símbolos:
  • (AB^{t})_{ik} é o elemento na linha i e coluna k da matriz produto.
  • a_{ij} é o elemento de A na linha i, coluna j.
  • (B^{t})_{jk} é o elemento de B^{t} na linha j, coluna k.
    Mas (B^{t})_{jk}=b_{kj} (pela definição de transposta: troca índices). Portanto podemos escrever a fórmula útil aqui como
(AB^{t})_{ik}=\sum_{j=1}^{2} a_{ij}\,b_{kj}.
Ou seja: para obter o elemento (i,k) do produto, multiplica-se cada entrada a_{ij} da linha i de A pela correspondente entrada b_{kj} da linha k de B (mesmo j), e soma-se para j=1,2.

Passo 3

Calcular explicitamente os elementos de A. Usar a_{ij}=2i-j para i=1,2,3 e j=1,2.
  • Para i=1: a_{11}=2\cdot1-1=1,\qquad a_{12}=2\cdot1-2=0.
  • Para i=2: a_{21}=2\cdot2-1=3,\qquad a_{22}=2\cdot2-2=2.
  • Para i=3: a_{31}=2\cdot3-1=5,\qquad a_{32}=2\cdot3-2=4.
Portanto, escrevendo A explicitamente:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 3 & 2\\[4pt] 5 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular explicitamente os elementos de B. Usar b_{ij}=i^{2}+j para i=1,2,3 e j=1,2.
  • Para i=1: b_{11}=1^{2}+1=2,\qquad b_{12}=1^{2}+2=3.
  • Para i=2: b_{21}=2^{2}+1=5,\qquad b_{22}=2^{2}+2=6.
  • Para i=3: b_{31}=3^{2}+1=10,\qquad b_{32}=3^{2}+2=11.
Assim,
B=\begin{pmatrix} 2 & 3\\[4pt] 5 & 6\\[4pt] 10 & 11 \end{pmatrix}.
A transposta B^{t} é então
B^{t}=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 10\\[4pt] 3 & 6 & 11 \end{pmatrix},
que é 2\times3, conforme esperado.]

Passo 5

Agora calcular AB^{t} usando a fórmula (AB^{t})_{ik}=\sum_{j=1}^{2} a_{ij}\,b_{kj}.
Começamos pela primeira linha ( i=1). Os elementos da linha 1 de A são a_{11}=1 e a_{12}=0.
  • Para k=1: (AB^{t})_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{1 2}=1\cdot2+0\cdot3=2.
  • Para k=2: (AB^{t})_{12}=a_{11}b_{21}+a_{12}b_{22}=1\cdot5+0\cdot6=5.
  • Para k=3: (AB^{t})_{13}=a_{11}b_{31}+a_{12}b_{32}=1\cdot10+0\cdot11=10.
Portanto a primeira linha de AB^{t} é (2,\;5,\;10).

Passo 6

Segunda linha ( i=2). Os elementos da linha 2 de A são a_{21}=3 e a_{22}=2.
  • Para k=1: (AB^{t})_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{12}=3\cdot2+2\cdot3=6+6=12.
  • Para k=2: (AB^{t})_{22}=a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}=3\cdot5+2\cdot6=15+12=27.
  • Para k=3: (AB^{t})_{23}=a_{21}b_{31}+a_{22}b_{32}=3\cdot10+2\cdot11=30+22=52.
Assim a segunda linha de AB^{t} é (12,\;27,\;52).

Passo 7

Terceira linha ( i=3). Os elementos da linha 3 de A são a_{31}=5 e a_{32}=4.
  • Para k=1: (AB^{t})_{31}=a_{31}b_{11}+a_{32}b_{12}=5\cdot2+4\cdot3=10+12=22.
  • Para k=2: (AB^{t})_{32}=a_{31}b_{21}+a_{32}b_{22}=5\cdot5+4\cdot6=25+24=49.
  • Para k=3: (AB^{t})_{33}=a_{31}b_{31}+a_{32}b_{32}=5\cdot10+4\cdot11=50+44=94.
Portanto a terceira linha de AB^{t} é (22,\;49,\;94).

Passo 8

Juntando todas as linhas obtidas, a matriz produto AB^{t} fica:
AB^{t}=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 10\\[4pt] 12 & 27 & 52\\[4pt] 22 & 49 & 94 \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 5 & 10\\[4pt] 12 & 27 & 52\\[4pt] 22 & 49 & 94 \end{pmatrix}]

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