Sendo A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 2}, onde a_{i j}=2 i-j, e B=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 2}, com b_{i j}=i^{2}+j calcule:
(A+B)^{t}

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B, ambas de dimensão 3\times2, com entradas definidas por fórmulas:
A=\bigl(a_{ij}\bigr)_{3\times2},\quad a_{ij}=2i-j, \qquad B=\bigl(b_{ij}\bigr)_{3\times2},\quad b_{ij}=i^{2}+j,
onde i é o índice da linha ( i=1,2,3) e j é o índice da coluna ( j=1,2).
O que nos pedem é calcular (A+B)^{t}, ou seja, transpor a soma das matrizes A e B.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar duas definições básicas e uma propriedade útil:
  • Soma de matrizes (elemento a elemento): para duas matrizes da mesma dimensão, a soma tem entradas
(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.
  • Transposta de uma matriz: se M é uma matriz com entradas m_{ij}, então a transposta M^{t} tem entradas
(M^{t})_{ij}=m_{ji},
ou seja, linhas viram colunas.
  • Propriedade prática (que podemos usar como atalho e também para checar o resultado):
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.
Esta propriedade se verifica direto pelas definições porque ((A+B)^{t})_{ij}=(A+B)_{ji}=a_{ji}+b_{ji}=(A^{t}+B^{t})_{ij}.
Vou aplicar a definição direta (somar entradas e depois transpor), mostrando os cálculos elemento a elemento para você fazer igual na prova.

Passo 3

Calcular as entradas de A usando a_{ij}=2i-j. Para cada par (i,j):
  • Para i=1, j=1: \;a_{11}=2\cdot1-1=1.
  • Para i=1, j=2: \;a_{12}=2\cdot1-2=0.
  • Para i=2, j=1: \;a_{21}=2\cdot2-1=3.
  • Para i=2, j=2: \;a_{22}=2\cdot2-2=2.
  • Para i=3, j=1: \;a_{31}=2\cdot3-1=5.
  • Para i=3, j=2: \;a_{32}=2\cdot3-2=4.
Organizando em matriz (linhas 1 a 3, colunas 1 a 2):
A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 3 & 2\\[4pt] 5 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular as entradas de B usando b_{ij}=i^{2}+j. Para cada par (i,j):
  • Para i=1, j=1: \;b_{11}=1^{2}+1=2.
  • Para i=1, j=2: \;b_{12}=1^{2}+2=3.
  • Para i=2, j=1: \;b_{21}=2^{2}+1=5.
  • Para i=2, j=2: \;b_{22}=2^{2}+2=6.
  • Para i=3, j=1: \;b_{31}=3^{2}+1=10.
  • Para i=3, j=2: \;b_{32}=3^{2}+2=11.
Organizando em matriz:
B=\begin{pmatrix} 2 & 3\\[4pt] 5 & 6\\[4pt] 10 & 11 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Somar A e B elemento a elemento: (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.
Computando cada entrada:
  • Linha 1: (A+B)_{11}=1+2=3,\quad (A+B)_{12}=0+3=3.
  • Linha 2: (A+B)_{21}=3+5=8,\quad (A+B)_{22}=2+6=8.
  • Linha 3: (A+B)_{31}=5+10=15,\quad (A+B)_{32}=4+11=15.
Assim
A+B=\begin{pmatrix} 3 & 3\\[4pt] 8 & 8\\[4pt] 15 & 15 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora transpor A+B. A transposta troca linhas por colunas, então a coluna 1 de A+B vira a linha 1 de (A+B)^{t} e a coluna 2 vira a linha 2.
Coluna 1 de A+B é \begin{pmatrix}3\\[4pt]8\\[4pt]15\end{pmatrix}, coluna 2 é a mesma \begin{pmatrix}3\\[4pt]8\\[4pt]15\end{pmatrix}. Portanto
(A+B)^{t}=\begin{pmatrix} 3 & 8 & 15\\[4pt] 3 & 8 & 15 \end{pmatrix}.
(Verificação rápida com a propriedade: A^{t}+B^{t} também dá a mesma matriz, pois a operação é linear.)]

Resposta

(A+B)^{t}=\begin{pmatrix} 3 & 8 & 15\\[4pt] 3 & 8 & 15 \end{pmatrix}]

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