Uma barra uniforme possui duas pequenas esferas coladas às suas extremidades. A barra possui 2 m de comprimento e massa 4 kg , enquanto que as esferas possuem
cada e podem ser tratadas como pontos de massa. Ache o momento de inércia em relação a cada um dos seguintes eixos:
um eixo paralelo à barra e a uma distância de
dela.
um eixo paralelo à barra e a uma distância de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz assim: temos uma barra uniforme com comprimento
e massa
. Em cada extremidade da barra está “colada” uma esfera que a gente trata como ponto material de massa
. A pergunta é: qual o momento de inércia desse conjunto em relação a um eixo paralelo à barra, mas deslocado lateralmente uma distância
?
Conteúdo: momento de inércia para pontos e corpos contínuos, e teorema dos eixos paralelos (ou integração direta).
Conteúdo: momento de inércia para pontos e corpos contínuos, e teorema dos eixos paralelos (ou integração direta).
Passo 2
Primeiro, lembra do que é momento de inércia: para um conjunto de massas discretas ele é
onde cada
é a distância da massa
ao eixo. Para um corpo contínuo a gente faria
No nosso caso dá pra pensar assim:
- as esferas são pontos de massa;
- a barra é um “fio” de massa distribuída.
Como o eixo é paralelo à barra e está a uma distância fixa, todo pedaço da barra também fica sempre a essa mesma distância . Então podemos usar direto
Passo 3
Calcular o momento de inércia da barra:
Passo 4
Agora as esferas, que são pontos de massa cada uma a distância
do eixo. Para cada uma vale
Como são duas esferas iguais, somamos:
Passo 5
Aí é só somar o da barra com o das esferas:
Resposta
O momento de inércia do conjunto em relação ao eixo paralelo à barra a
de distância é