Uma barra uniforme possui duas pequenas esferas coladas às suas extremidades. A barra possui 2 m de comprimento e massa 4 kg , enquanto que as esferas possuem 0,5 kg cada e podem ser tratadas como pontos de massa. Ache o momento de inércia em relação a cada um dos seguintes eixos:
um eixo paralelo à barra e a uma distância de 0,5 m dela.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz assim: temos uma barra uniforme com comprimento e massa . Em cada extremidade da barra está “colada” uma esfera que a gente trata como ponto material de massa . A pergunta é: qual o momento de inércia desse conjunto em relação a um eixo paralelo à barra, mas deslocado lateralmente uma distância ?
Conteúdo: momento de inércia para pontos e corpos contínuos, e teorema dos eixos paralelos (ou integração direta).

Passo 2

Primeiro, lembra do que é momento de inércia: para um conjunto de massas discretas ele é
I ;=; sumi mi,ri^2,
onde cada I ;=; integral r^2,dm é a distância da massa Irm barra ;=; integral d^2,dm ;=; d^2!integral dm ;=; Mrm barra,d^2 ao eixo. Para um corpo contínuo a gente faria
No nosso caso dá pra pensar assim:
  • as esferas são pontos de massa;
  • a barra é um “fio” de massa distribuída.
    Como o eixo é paralelo à barra e está a uma distância fixa , todo pedaço da barra também fica sempre a essa mesma distância . Então podemos usar direto

Passo 3

Calcular o momento de inércia da barra:
Irm barra = Mrm barra,d^2 = 4,0 kg;times (0,5 m)^2 = 4,0 times 0,25 = 1,00 kgcdot m^2

Passo 4

Agora as esferas, que são pontos de massa cada uma a distância Irm esfera = mrm esfera,d^2 = 0,5 kgtimes (0,5 m)^2 = 0,5 times 0,25 = 0,125 kgcdot m^2 do eixo. Para cada uma vale
Irm 2,esferas = 2 times 0,125 = 0,25 kgcdot m^2
Como são duas esferas iguais, somamos:

Passo 5

Aí é só somar o da barra com o das esferas:
Irm total = Irm barra + Irm 2,esferas = 1,00 + 0,25 = 1,25 kgcdot m^2

Resposta

O momento de inércia do conjunto em relação ao eixo paralelo à barra a boxedI = 1,25 kgcdot m^2 de distância é

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