Sabendo que o momento de inércia de um disco homogêneo de raio R e massa m com relação a um eixo que o atravessa perpendicularmente em seu centro é Id=m R^2 / 2, determine o momento de inércia de um anel de massa M cujos raios interno e externo são, respectivamente, R1 e R2. (Sugestão: considere o disco de raio R2 como sendo formado por um disco de raio R1 e o anel em questão, todos com a mesma densidade superficial de massa.)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o momento de inércia de um anel (ou “arruela”) de massa , raio interno e externo . A matéria é momento de inércia de corpos planos, e vamos usar a ideia de densidade superficial de massa ( ) e a fórmula do disco homogêneo . A sugestão é imaginar um disco de raio formado por um disco menor de raio mais o anel. Como todos têm a mesma , subtraímos os momentos de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a densidade superficial de massa sigma = massaárea . Por definição,
sigma = Mpil(R2^2 - R1^2r) á
Para o nosso anel, a área é e a massa é , então

Passo 3

Agora calculamos as massas equivalentes dos dois discos:
  1. Disco grande (raio mgrande = sigma ,pi R2^2 = Mpi(R2^2 - R1^2);pi R2^2 = M,R2^2R2^2 - R1^2 ):
mpequeno = sigma ,pi R1^2 = M,R1^2R2^2 - R1^2
  1. Disco pequeno (raio ):

Passo 4

Aí usamos a fórmula Igrande = mgrande,R2^22 = M,R2^2R2^2 - R1^2;R2^22 = M,R2^42,(R2^2 - R1^2), pros dois discos e subtraímos:
Ipequeno = mpequeno,R1^22 = M,R1^2R2^2 - R1^2;R1^22 = M,R1^42,(R2^2 - R1^2)
Ianel = Igrande - Ipequeno = M2,(R2^2 - R1^2)l(R2^4 - R1^4r)
Logo o anel vale
E , simplifica tudo!

Resposta

boxedIanel = M,(R2^2 + R1^2)2

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