Sabendo que o momento de inércia de um disco homogêneo de raio
e massa
com relação a um eixo que o atravessa perpendicularmente em seu centro é
, determine o momento de inércia de um anel de massa
cujos raios interno e externo são, respectivamente,
e
. (Sugestão: considere o disco de raio
como sendo formado por um disco de raio
e o anel em questão, todos com a mesma densidade superficial de massa.)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar o momento de inércia de um anel (ou “arruela”) de massa
, raio interno
e externo
. A matéria é momento de inércia de corpos planos, e vamos usar a ideia de densidade superficial de massa (
) e a fórmula do disco homogêneo
. A sugestão é imaginar um disco de raio
formado por um disco menor de raio
mais o anel. Como todos têm a mesma
, subtraímos os momentos de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a densidade superficial de massa
. Por definição,
Para o nosso anel, a área é
e a massa é
, então
Passo 3
Agora calculamos as massas equivalentes dos dois discos:
- Disco grande (raio
):
- Disco pequeno (raio
):
Passo 4
Aí usamos a fórmula
pros dois discos e subtraímos:
Logo o anel vale
E
, simplifica tudo!