Utilizando o teorema dos eixos paralelos para uma barra fina e homogênea, determine o momento de inércia de uma chapa retangular homogênea de massa M, comprimento a e largura b, com relação a um eixo normal ao plano e passando pelo centro de massa dessa distribuição. Para isso, considere esse retângulo como sendo composto por fatias de comprimento d x e largura b, encerrando a massa diferencial d m, situadas à distancia x da origem, onde o centro de massa está localizado.

Passo 1

Beleza, o enunciado quer o momento de inércia de uma chapa retangular homogênea (massa M, comprimento a e largura b) em torno de um eixo perpendicular ao plano, passando pelo centro de massa.
Conteúdo: momento de inércia, densidade de massa uniforme, teorema dos eixos paralelos e integração.
O que vamos usar:
• dividir a placa em fatias finas (barrinhas) de espessura dx;
• lembrar o momento de inércia de uma barra fina de comprimento b em torno de seu centro;
• aplicar o teorema dos eixos paralelos para deslocar o eixo de cada fatia até o eixo central da placa;
• integrar tudo de x=-tfrac a2 a +tfrac a2.

Passo 2

Definindo coordenadas: coloque o centro da placa na origem (0,0), o eixo x ao longo do comprimento a, e o eixo y ao longo da largura b.
Pegamos uma fatia em x, de largura dx e extensão total b.
Massa dessa fatia:
dm = sigma;b,dx,onde;sigma=Ma,b
Logo dm = Mab;b,dx = Ma,dx

Passo 3

Momento de inércia de uma barrinha (comprimento b, massa dm) em torno de um eixo perpendicular ao seu plano e passando pelo seu centro:
Irm centro,(fat) = 112,dm;b^2
Isso vem da fórmula padrão Irm barra,(centro)=tfrac112mL^2 para uma barra de comprimento L.

Passo 4

Agora usamos o teorema dos eixos paralelos para levar o eixo dessa fatia até o eixo central da placa, que está a uma distância x do centro da fatia:
Irm fatia = Irm centro,(fat) + dm;x^2 = 112,dm,b^2 + dm,x^2

Passo 5

Somamos todas as fatias integrando de x=-tfrac a2 a +tfrac a2:
$$I = \int_{-\frac a2}^{+\frac a2}\Bigl(\tfrac{1}{12},b^2 + x^2\Bigr),dm
= \int_{-a/2}{a/2}\Bigl(\tfrac{1}{12}b2 + x^2\Bigr)\frac{M}{a},dx.$$
Separamos em duas integrais:
  1. I = integral- a2^+ a2l(tfrac112,b^2 + x^2r),dm = integral-a/2^a/2l(tfrac112b^2 + x^2r)Ma,dx
  2. Ma,112b^2integral-a/2^a/2dx = Ma,112b^2,(a) = M,b^212

Passo 6

Somando os dois pedaços:
$$I = \frac{M,b^2}{12} + \frac{M,a^2}{12}
= \frac{M}{12},(a^2 + b^2).$$

Resposta

boxedI = M12,l(a^2 + b^2r)

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