Utilizando o teorema dos eixos paralelos para uma barra fina e homogênea, determine o momento de inércia de uma chapa retangular homogênea de massa
, comprimento
e largura
, com relação a um eixo normal ao plano e passando pelo centro de massa dessa distribuição. Para isso, considere esse retângulo como sendo composto por fatias de comprimento
e largura
, encerrando a massa diferencial
, situadas à distancia
da origem, onde o centro de massa está localizado.
Passo 1
Beleza, o enunciado quer o momento de inércia de uma chapa retangular homogênea (massa
, comprimento
e largura
) em torno de um eixo perpendicular ao plano, passando pelo centro de massa.
Conteúdo: momento de inércia, densidade de massa uniforme, teorema dos eixos paralelos e integração.
O que vamos usar:
• dividir a placa em fatias finas (barrinhas) de espessura ;
• lembrar o momento de inércia de uma barra fina de comprimento em torno de seu centro;
• aplicar o teorema dos eixos paralelos para deslocar o eixo de cada fatia até o eixo central da placa;
• integrar tudo de a
.
Conteúdo: momento de inércia, densidade de massa uniforme, teorema dos eixos paralelos e integração.
O que vamos usar:
• dividir a placa em fatias finas (barrinhas) de espessura
• lembrar o momento de inércia de uma barra fina de comprimento
• aplicar o teorema dos eixos paralelos para deslocar o eixo de cada fatia até o eixo central da placa;
• integrar tudo de
Passo 2
Definindo coordenadas: coloque o centro da placa na origem
, o eixo
ao longo do comprimento
, e o eixo
ao longo da largura
.
Pegamos uma fatia em , de largura
e extensão total
.
Massa dessa fatia:
Pegamos uma fatia em
Massa dessa fatia:
Logo
Passo 3
Momento de inércia de uma barrinha (comprimento
, massa
) em torno de um eixo perpendicular ao seu plano e passando pelo seu centro:
Isso vem da fórmula padrão
Passo 4
Agora usamos o teorema dos eixos paralelos para levar o eixo dessa fatia até o eixo central da placa, que está a uma distância
do centro da fatia:
Passo 5
Somamos todas as fatias integrando de
a
:
$$I = \int_{-\frac a2}^{+\frac a2}\Bigl(\tfrac{1}{12},b^2 + x^2\Bigr),dm
= \int_{-a/2}{a/2}\Bigl(\tfrac{1}{12}b2 + x^2\Bigr)\frac{M}{a},dx.$$
Separamos em duas integrais:
Separamos em duas integrais:
Passo 6
Somando os dois pedaços:
$$I = \frac{M,b^2}{12} + \frac{M,a^2}{12}
= \frac{M}{12},(a^2 + b^2).$$