Sabendo que n \in \mathbb{N}(n \geq 2), verifique que:
(1+i)^{n}=2^{\frac{n}{2}}\left(\cos \frac{n \pi}{4}+i \operatorname{sen} \frac{n \pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N} com n\ge2, vale
(1+i)^{n}=2^{\frac{n}{2}}\Bigl(\cos\frac{n\pi}{4}+i\,\operatorname{sen}\frac{n\pi}{4}\Bigr).
O conteúdo aqui é forma polar de número complexo e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Primeiro escrevemos 1+i em coordenadas polares. O módulo é
r = |1+i| = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2},
e o argumento \theta satisfaz
\cos\theta = \tfrac{1}{\sqrt{2}},\qquad \operatorname{sen}\theta = \tfrac{1}{\sqrt{2}},
logo \theta = \tfrac{\pi}{4}. Assim
1+i = \sqrt{2}\,\bigl(\cos\tfrac{\pi}{4} + i\,\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de De Moivre, que diz que, para todo n\in\mathbb{N},
\bigl(r(\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta)\bigr)^{n} = r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\,\operatorname{sen}(n\theta)\bigr).
Aqui r=\sqrt{2} e \theta=\tfrac{\pi}{4}. Portanto
(1+i)^{n} = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{n} \Bigl(\cos\bigl(n\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr) +i\,\operatorname{sen}\bigl(n\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr) =2^{\frac{n}{2}}\Bigl(\cos\tfrac{n\pi}{4}+i\,\operatorname{sen}\tfrac{n\pi}{4}\Bigr).

Resposta

(1+i)^{n}=2^{\frac{n}{2}}\Bigl(\cos\tfrac{n\pi}{4}+i\,\operatorname{sen}\tfrac{n\pi}{4}\Bigr).

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