Sabendo que
, demonstre que:
(b)
ou 2 ;
(b)
Passo 1
O enunciado dá que
e pede para provar que
é igual a
ou a
.
Informações relevantes fornecidas: (ou seja,
e
são primos entre si). Não há mais hipóteses sobre paridade de
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos definir uma notação curta. Seja
O objetivo é mostrar que
. Lembrete rápido (fórmula/ideia útil): se um inteiro
divide dois inteiros
e
, então
divide qualquer combinação linear inteira
(com
). Vou usar essa propriedade para produzir números que
também divide.
Passo 3
Use combinações lineares para extrair informações sobre
. Calcule a diferença
Expandindo
obtemos
. Portanto
Como
divide
e também divide
(pois divide
), então
divide a diferença, logo
De modo totalmente análogo (trocando
com
) obtemos
Passo 4
Mostre que
não pode ter nenhum divisor primo ímpar. Seja
um primo ímpar tal que
. Então
e
. Como
é ímpar,
não divide
, portanto
e
. Isso implica
e
. Mas isso contradiz a hipótese
. Assim não existe primo ímpar que divida
. Conclusão: todos os fatores primos de
são iguais a
; em outras palavras,
é uma potência de
.
Passo 5
Agora precisamos limitar a potência de
que pode dividir
. Observemos casos de paridade de
e
.
Caso A: um de
é par e o outro é ímpar. Então
é ímpar, logo
não pode ser múltiplo de
. Portanto
nesse caso.
Caso B:
e
são ambos pares. Isso é impossível porque
. Então não precisamos considerar.
Caso C:
e
são ambos ímpares. Então
é par (divisível por
). Vamos verificar se
pode dividir simultaneamente
e
. Para inteiros ímpares
e
temos
ou
, e o quadrado de um ímpar vale
modulo
. Mais precisamente, para todo inteiro ímpar
vale
. Assim, se
e
são ímpares,
Logo
é divisível por
mas não por
. Assim
, e consequentemente
. Como já estabelecemos que
é potência de
, a única potência de
restante possível é
(pois
também é potência de
). Portanto, no caso em que ambos são ímpares,
.
Passo 6
Resumindo os casos: se um dos números é par e o outro ímpar então
; se ambos são ímpares então
. Não há outros casos compatíveis com
. Assim, sempre vale que
Como verificação rápida: exemplo com
(par/ímpar) dá
; exemplo com
(ambos ímpares) dá
.