Sabendo que \operatorname{mdc}(a . b)=1, demonstre que:
(b) \operatorname{mdc}\left(a+b, a^{2}+b^{2}\right)=1 ou 2 ;

Passo 1

O enunciado dá que \operatorname{mdc}(a,b)=1 e pede para provar que
\operatorname{mdc}\bigl(a+b,\;a^{2}+b^{2}\bigr)
é igual a 1 ou a 2.
Informações relevantes fornecidas: \operatorname{mdc}(a,b)=1 (ou seja, a e b são primos entre si). Não há mais hipóteses sobre paridade de a e b.

Passo 2

Vamos definir uma notação curta. Seja
d=\operatorname{mdc}\bigl(a+b,\;a^{2}+b^{2}\bigr).
O objetivo é mostrar que d\in\{1,2\}. Lembrete rápido (fórmula/ideia útil): se um inteiro d divide dois inteiros x e y, então d divide qualquer combinação linear inteira ux+vy (com u,v\in\mathbb{Z}). Vou usar essa propriedade para produzir números que d também divide.

Passo 3

Use combinações lineares para extrair informações sobre d. Calcule a diferença
\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr)- (a-b)(a+b).
Expandindo (a-b)(a+b) obtemos a^{2}-b^{2}. Portanto
\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr)- (a-b)(a+b) = a^{2}+b^{2}-(a^{2}-b^{2}) = 2b^{2}.
Como d divide a^{2}+b^{2} e também divide (a-b)(a+b) (pois divide a+b), então d divide a diferença, logo
d \mid 2b^{2}.
De modo totalmente análogo (trocando a com b) obtemos
d \mid 2a^{2}.

Passo 4

Mostre que d não pode ter nenhum divisor primo ímpar. Seja p um primo ímpar tal que p\mid d. Então p\mid 2a^{2} e p\mid 2b^{2}. Como p é ímpar, p não divide 2, portanto p\mid a^{2} e p\mid b^{2}. Isso implica p\mid a e p\mid b. Mas isso contradiz a hipótese \operatorname{mdc}(a,b)=1. Assim não existe primo ímpar que divida d. Conclusão: todos os fatores primos de d são iguais a 2; em outras palavras, d é uma potência de 2.

Passo 5

Agora precisamos limitar a potência de 2 que pode dividir d. Observemos casos de paridade de a e b.
Caso A: um de a,b é par e o outro é ímpar. Então a+b é ímpar, logo d=\operatorname{mdc}(a+b,a^{2}+b^{2}) não pode ser múltiplo de 2. Portanto d=1 nesse caso.
Caso B: a e b são ambos pares. Isso é impossível porque \operatorname{mdc}(a,b)=1. Então não precisamos considerar.
Caso C: a e b são ambos ímpares. Então a+b é par (divisível por 2). Vamos verificar se 4 pode dividir simultaneamente a+b e a^{2}+b^{2}. Para inteiros ímpares a e b temos a\equiv 1\pmod{2} ou a\equiv -1\pmod{2}, e o quadrado de um ímpar vale 1 modulo 4. Mais precisamente, para todo inteiro ímpar x vale x^{2}\equiv 1\pmod{4}. Assim, se a e b são ímpares,
a^{2}+b^{2}\equiv 1+1\equiv 2\pmod{4}.
Logo a^{2}+b^{2} é divisível por 2 mas não por 4. Assim 4\nmid a^{2}+b^{2}, e consequentemente 4\nmid d. Como já estabelecemos que d é potência de 2, a única potência de 2 restante possível é 2 (pois 1 também é potência de 2). Portanto, no caso em que ambos são ímpares, d=2.

Passo 6

Resumindo os casos: se um dos números é par e o outro ímpar então d=1; se ambos são ímpares então d=2. Não há outros casos compatíveis com \operatorname{mdc}(a,b)=1. Assim, sempre vale que
\operatorname{mdc}\bigl(a+b,\;a^{2}+b^{2}\bigr)\in\{1,2\}.
Como verificação rápida: exemplo com a=1,b=2 (par/ímpar) dá \operatorname{mdc}(3,5)=1; exemplo com a=1,b=3 (ambos ímpares) dá \operatorname{mdc}(4,10)=2.

Resposta

\;1\;\text{ou}\;2

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