Determine a integral indefinida
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações úteis extraídas do enunciado:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - O grau do numerador é
e o grau do denominador é (logo a fração é própria). - O denominador anula-se em
; portanto o domínio natural da integranda exclui esses pontos.
Passo 2
Escolha do método: para integrar uma função racional onde o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador se fatoriza em fatores lineares distintos, o método mais direto é a decomposição em frações parciais. Vou explicar esse método de forma didática.
Breve aula sobre decomposição em frações parciais:
- Quando se tem uma função racional
com e fatorado em fatores lineares distintos , é possível escrever
- Cada termo
é fácil de integrar: . - Primeiro passo prático: fatorar
.
Agora fatoro o denominador
. Colocando em evidência:
Passo 3
Montagem da decomposição em frações parciais: como o denominador tem três fatores lineares distintos
, proponho
onde
são constantes a determinar.
Multiplico ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Passo 4
Determinação das constantes
. Vou usar o método “cover-up” (valores especiais de
) que é rápido e rigoroso quando os fatores são simples:
- Para
: esquerda . Na direita, apenas o termo com sobrevive:
- Para
: esquerda . Na direita só o termo com sobrevive:
- Para
: esquerda . Na direita só o termo com sobrevive:
Verificação rápida (opcional): substituindo
na identidade dá a igualdade dos polinômios (pode confiar no cálculo acima).
Passo 5
Reescrevo a integral usando a decomposição encontrada:
Portanto
Passo 6
Integro termo a termo. Lembrete:
porque a derivada de
é
. Aplicando isso:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Simplificação opcional (combinar logaritmos): usando propriedades de logaritmo,
Observação sobre sinais: os módulos garantem que o logaritmo está bem definido para
em qualquer intervalo onde a função original seja definida (exceto
).
Passo 8
Pequena verificação por derivação (didática): derivando a primitiva
obtém-se
e colocando sobre o mesmo denominador
recupera-se exatamente
, confirmando que a primitiva está correta.