Determine a integral indefinida
\int \frac{2 x^{2}+5 x+1}{x^{3}-x} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{2 x^{2}+5 x+1}{x^{3}-x}\,dx.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O numerador é o polinômio \,2x^{2}+5x+1\,.
  • O denominador é o polinômio \,x^{3}-x\,.
  • O grau do numerador é 2 e o grau do denominador é 3 (logo a fração é própria).
  • O denominador anula-se em x=0,\;x=1,\;x=-1; portanto o domínio natural da integranda exclui esses pontos.

Passo 2

Escolha do método: para integrar uma função racional onde o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador se fatoriza em fatores lineares distintos, o método mais direto é a decomposição em frações parciais. Vou explicar esse método de forma didática.
Breve aula sobre decomposição em frações parciais:
  • Quando se tem uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} com \deg P<\deg Q e Q(x) fatorado em fatores lineares distintos (x-a_1)(x-a_2)\cdots, é possível escrever
\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{x-a_2}+\cdots.
  • Cada termo \dfrac{A_i}{x-a_i} é fácil de integrar: \int \dfrac{A_i}{x-a_i}\,dx = A_i\ln|x-a_i|+C.
  • Primeiro passo prático: fatorar Q(x).
Agora fatoro o denominador \,x^{3}-x\,. Colocando em evidência:
x^{3}-x = x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1).

Passo 3

Montagem da decomposição em frações parciais: como o denominador tem três fatores lineares distintos x,\;x-1,\;x+1, proponho
\frac{2x^{2}+5x+1}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1},
onde A,B,C são constantes a determinar.
Multiplico ambos os lados por x(x-1)(x+1) para obter uma identidade polinomial:
2x^{2}+5x+1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1).

Passo 4

Determinação das constantes A,B,C. Vou usar o método “cover-up” (valores especiais de x) que é rápido e rigoroso quando os fatores são simples:
  • Para x=0: esquerda 2\cdot0^{2}+5\cdot0+1=1. Na direita, apenas o termo com A sobrevive:
1 = A(0-1)(0+1) = A(-1)(1) = -A \quad\Rightarrow\quad A = -1.
  • Para x=1: esquerda 2\cdot1^{2}+5\cdot1+1=2+5+1=8. Na direita só o termo com B sobrevive:
8 = B\cdot 1\cdot(1+1) = B\cdot 2 \quad\Rightarrow\quad B = 4.
  • Para x=-1: esquerda 2\cdot(-1)^{2}+5(-1)+1=2-5+1=-2. Na direita só o termo com C sobrevive:
-2 = C\cdot(-1)\cdot(-1-1)= C\cdot(-1)\cdot(-2)=C\cdot 2 \quad\Rightarrow\quad C = -1.
Verificação rápida (opcional): substituindo A=-1,B=4,C=-1 na identidade dá a igualdade dos polinômios (pode confiar no cálculo acima).

Passo 5

Reescrevo a integral usando a decomposição encontrada:
\frac{2x^{2}+5x+1}{x^{3}-x} = -\frac{1}{x}+\frac{4}{x-1}-\frac{1}{x+1}.
Portanto
\int \frac{2x^{2}+5x+1}{x^{3}-x}\,dx = \int\!\left(-\frac{1}{x}+\frac{4}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\,dx.

Passo 6

Integro termo a termo. Lembrete: \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C porque a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}. Aplicando isso:
\int\!\left(-\frac{1}{x}+\frac{4}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\,dx = -\ln|x| + 4\ln|x-1| - \ln|x+1| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Simplificação opcional (combinar logaritmos): usando propriedades de logaritmo,
- \ln|x| + 4\ln|x-1| - \ln|x+1| = \ln\!\left(\frac{|x-1|^{4}}{|x|\;|x+1|}\right) + C.
Observação sobre sinais: os módulos garantem que o logaritmo está bem definido para x em qualquer intervalo onde a função original seja definida (exceto x=-1,0,1).

Passo 8

Pequena verificação por derivação (didática): derivando a primitiva
F(x) = -\ln|x| + 4\ln|x-1| - \ln|x+1|
obtém-se
F'(x) = -\frac{1}{x} + \frac{4}{x-1} - \frac{1}{x+1},
e colocando sobre o mesmo denominador x(x-1)(x+1) recupera-se exatamente \dfrac{2x^{2}+5x+1}{x^{3}-x}, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

-\ln|x| + 4\ln|x-1| - \ln|x+1| + C

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