Verifique as identidades trigonométricas:
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar a identidade
Informações relevantes e restrições (dados do enunciado implicam estas condições):
- As expressões contêm divisões por
e por . Portanto é necessário que e . - Observação sobre os pontos proibidos:
ocorre em . ocorre em . Em quaisquer desses pontos a expressão dada não está bem definida, então a verificação vale apenas para os onde ambas as frações fazem sentido.
Passo 2
Estratégia algébrica inicial (passo simples e seguro): transformar a segunda fração escrevendo-a com denominador trigonométrico mais simples usando a identidade pitagórica
. Começo por manipular
Multiplico numerador e denominador por
(isso não altera o valor enquanto
; se
então
e nesse caso a operação ainda é formal, mas a expressão original está definida pois
; de qualquer modo a multiplicação por uma quantidade não nula é válida). Fazendo a multiplicação obtemos:
Passo 3
Aplicando a identidade pitagórica no denominador:
Substituindo no passo anterior:
Agora simplifico um fator
(lembre que estamos assumindo
para que a expressão faça sentido):
Passo 4
Agora volto à soma inicial e substituo a segunda fração pela forma simplificada que encontrei:
Como as duas parcelas têm mesmo denominador, somo os numeradores:
Passo 5
Reconheço que
é a função recíproca do cosseno, isto é
. Portanto
Concluo que, sempre que as expressões estiverem definidas (isto é, para
tais que
e
), vale a identidade desejada.
Passo 6
Checagem numérica rápida para ganhar confiança: tome
. Então
e
confirmação numérica consistente com a prova algébrica.