Verifique as identidades trigonométricas:
\frac{1-\operatorname{sen} x}{\cos x}+\frac{\cos x}{1-\operatorname{sen} x}=2 \operatorname{sec} x

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar a identidade
\frac{1-\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{1-\sin x}=2\operatorname{sec} x.
Informações relevantes e restrições (dados do enunciado implicam estas condições):
  • As expressões contêm divisões por \cos x e por 1-\sin x. Portanto é necessário que \cos x\neq0 e 1-\sin x\neq0.
  • Observação sobre os pontos proibidos: \cos x=0 ocorre em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi. \,1-\sin x=0 ocorre em x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi. Em quaisquer desses pontos a expressão dada não está bem definida, então a verificação vale apenas para os x onde ambas as frações fazem sentido.

Passo 2

Estratégia algébrica inicial (passo simples e seguro): transformar a segunda fração escrevendo-a com denominador trigonométrico mais simples usando a identidade pitagórica \,1-\sin^2 x=\cos^2 x. Começo por manipular
\frac{\cos x}{1-\sin x}.
Multiplico numerador e denominador por 1+\sin x (isso não altera o valor enquanto 1+\sin x\neq0; se 1+\sin x=0 então \sin x=-1 e nesse caso a operação ainda é formal, mas a expressão original está definida pois 1-\sin x=2\neq0; de qualquer modo a multiplicação por uma quantidade não nula é válida). Fazendo a multiplicação obtemos:
\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{\cos x(1+\sin x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)}.

Passo 3

Aplicando a identidade pitagórica no denominador:
(1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2 x=\cos^2 x.
Substituindo no passo anterior:
\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{\cos x(1+\sin x)}{\cos^2 x}.
Agora simplifico um fator \cos x (lembre que estamos assumindo \cos x\neq0 para que a expressão faça sentido):
\frac{\cos x(1+\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}.

Passo 4

Agora volto à soma inicial e substituo a segunda fração pela forma simplificada que encontrei:
\frac{1-\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{1-\sin x} = \frac{1-\sin x}{\cos x}+\frac{1+\sin x}{\cos x}.
Como as duas parcelas têm mesmo denominador, somo os numeradores:
\frac{(1-\sin x)+(1+\sin x)}{\cos x}=\frac{2}{\cos x}.

Passo 5

Reconheço que \operatorname{sec} x é a função recíproca do cosseno, isto é \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Portanto
\frac{2}{\cos x}=2\operatorname{sec} x.
Concluo que, sempre que as expressões estiverem definidas (isto é, para x tais que \cos x\neq0 e 1-\sin x\neq0), vale a identidade desejada.

Passo 6

Checagem numérica rápida para ganhar confiança: tome x=0. Então
\frac{1-\sin 0}{\cos 0}+\frac{\cos 0}{1-\sin 0}=\frac{1-0}{1}+\frac{1}{1}=1+1=2
e
2\operatorname{sec} 0=2\cdot\frac{1}{\cos 0}=2\cdot1=2,
confirmação numérica consistente com a prova algébrica.

Resposta

\frac{1-\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{1-\sin x}=2\operatorname{sec} x

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