Sabendo que |llla & b & c d & e & f g & h & i|=-6, encontre: (JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA)
|llld & e & f g & h & i a & b & c|

Passo 1

O enunciado nos dá a determinante de uma matriz 3times3 cujas linhas são, respectivamente, (a,b,c), (d,e,f) e (g,h,i), e informa que
det a & b & c d & e & f g & h & i =-6
Pede-se a determinante da matriz obtida ao “rodar” (ciclizar) as linhas, isto é, usando como primeira linha (d,e,f), como segunda (g,h,i) e como terceira (a,b,c). Para resolver vamos usar as propriedades de permutação de linhas em determinantes.

Passo 2

Lembramos que trocar duas linhas de lugar em uma determinante multiplica seu valor por -1. Mais geral, se aplicamos uma permutação qualquer de linhas, o determinante é multiplicado pelo sinal (paridade) dessa permutação: permutações pares deixam o determinante inalterado, permutações ímpares mudam o sinal.

Passo 3

A transformação
l(R1,R2,R3r)longrightarrow l(R2,R3,R1r)
é uma permutação cíclica de comprimento 3, que sempre pode ser decomposta em duas trocas de linhas (por exemplo, primeiro trocar R1 com R2 e depois trocar a nova R2 com R3). Como são duas trocas, o sinal da permutação é (-1)^2=+1, ou seja, é uma permutação par.

Passo 4

Por ser permutação par, a determinante não muda de valor. Logo,
det d & e & f g & h & i a & b & c = det a & b & c d & e & f g & h & i =-6

Resposta

-6

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