Sabendo que |u|=6,|v|=4 e a medida do ângulo entre u e v é igual a 30^circ, calcular:
(a) a área do paralelogramo determinado por u e-v;
(b) a área do paralelogramo determinado por u+v e u-v.

Passo 1

O enunciado fornece dois vetores u e v tais que |u|=6, |v|=4 e o ângulo entre eles é ang<=(u,v)=30^circ. Pede-se a área de paralelogramos em dois casos. Vamos usar que, para quaisquer vetores a e b, a área do paralelogramo que eles determinam é
Área = |a|;|b|;sin(theta), Á
onde theta é o ângulo entre a e b.

Passo 2

Para (a), os vetores são u e -v. Como |-v|=|v|=4 e o ângulo entre u e -v é o mesmo de u e v, isto é 30^circ, temos
Área(a) = |u|;|,-v|;sin(30^circ) = 6 times 4 times tfrac12 =12 Á

Passo 3

Para (b), os vetores são u+v e u-v. A área vale o valor absoluto do determinante (ou produto vetorial em 2D):
Área(b) = l|det[u+v,,u-v]r| = l|(u+v)times(u-v)r| Á
Pela bilinearidade do produto vetorial,
(u+v)times(u-v) = utimesu - utimesv + vtimesu - vtimesv = -,utimesv + vtimesu = -2,utimesv

Passo 4

Então
Área(b) = 2,l|utimesvr| = 2,|u|;|v|;sin(30^circ) = 2 times 6 times 4 times tfrac12 =24 Á

Resposta

(a) 12
(b) 24

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