Sabendo que uma partícula se movimenta por
em m e
segundos, determine:
A aceleracão
A aceleracão
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula cuja posição depende do tempo. O enunciado nos dá a função posição $ x(t) = \sqrt{2} \cdot t + 3,75 t^{3} - 0,5 t^{2} -7 $ onde $ x $ é em metros e $ t $ em segundos. Nosso objetivo é encontrar a aceleração da partícula no instante $ t = 0,5 $ segundos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a velocidade e depois a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Então, nosso primeiro passo é encontrar a primeira derivada de $ x(t) $ para obter a velocidade $ v(t) $.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de $ x(t) $. A função posição é:
Derivando termo a termo em relação a $ t $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada para obter a aceleração $ a(t) $. Derivando $ v(t) $ em relação a $ t $:
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, substituímos $ t = 0,5 $ segundos na expressão da aceleração para encontrar o valor desejado:
Resposta
A aceleração da partícula em $ t = 0,5 $ segundos é $ 10,25 , m/s^{2} $.