Sabendo que uma partícula se movimenta por x=raiz2 cdot t+3,75 t^3 -0,5 t^2-7, x em m e t em segundos, determine:
A aceleracão em t=0,5 d

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula cuja posição depende do tempo. O enunciado nos dá a função posição $ x(t) = \sqrt{2} \cdot t + 3,75 t^{3} - 0,5 t^{2} -7 $ onde $ x $ é em metros e $ t $ em segundos. Nosso objetivo é encontrar a aceleração da partícula no instante $ t = 0,5 $ segundos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a velocidade e depois a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Então, nosso primeiro passo é encontrar a primeira derivada de $ x(t) $ para obter a velocidade $ v(t) $.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de $ x(t) $. A função posição é:
x(t)
Derivando termo a termo em relação a $ t $:
x(t) = raiz2 cdot t + 3,75 t^3 - 0,5 t^2 -7
Simplificando:
t

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para obter a aceleração $ a(t) $. Derivando $ v(t) $ em relação a $ t $:
a(t)
Simplificando:
v(t)

Passo 5

Finalmente, substituímos $ t = 0,5 $ segundos na expressão da aceleração para encontrar o valor desejado:
t = 0,5

Resposta

A aceleração da partícula em $ t = 0,5 $ segundos é $ 10,25 , m/s^{2} $.

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