Reparametrize a hélice circular
pelo comprimento de arco e determine sua curvatura em
.
Passo 1
O enunciado pede para reparametrizar a hélice circular
de modo que o parâmetro seja o comprimento de arco e, em seguida, calcular a curvatura no ponto em que
. Vamos usar conceitos de comprimento de arco e fórmula da curvatura de curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, calculo a velocidade da curva:
logo o módulo é
Passo 3
Como a velocidade é constante
, o comprimento de arco contado desde
até
é
Invertendo,
Passo 4
Substituo na curva original para obter a reparametrização por comprimento de arco:
$$\alpha(s)=r\bigl(t(s)\bigr)=\bigl(\cos(s/\sqrt2),,\sin(s/\sqrt2),,s/\sqrt2\bigr).
$$
Passo 5
Agora calculo a curvatura usando
. Temos
Como
e isso independe de
.
Passo 6
Em particular, em
temos
.
Resposta
A reparametrização pelo comprimento de arco (com s=0 em t=0) é
e a curvatura em
vale
.