Reparametrize a hélice circular r(t)=(cos (t), sen(t), t) pelo comprimento de arco e determine sua curvatura em t=pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a hélice circular r(t)=(cos t,,sin t,,t) de modo que o parâmetro seja o comprimento de arco e, em seguida, calcular a curvatura no ponto em que t=pi/2. Vamos usar conceitos de comprimento de arco e fórmula da curvatura de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, calculo a velocidade da curva: r'(t)=(-sin t,,cos t,,1),logo o módulo é
|r'(t)|=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+1^2=raizsin^2t+cos^2t+1=raiz2

Passo 3

Como a velocidade é constante raiz2, o comprimento de arco contado desde t=0 até t é
s(t)=integral0^t|r'(u)|,du=integral0^traiz2,du=raiz2,t
Invertendo, t= s/raiz2.

Passo 4

Substituo na curva original para obter a reparametrização por comprimento de arco:
$$\alpha(s)=r\bigl(t(s)\bigr)=\bigl(\cos(s/\sqrt2),,\sin(s/\sqrt2),,s/\sqrt2\bigr).
$$

Passo 5

Agora calculo a curvatura usando kappa=dfrac|r'times r''||r'|^3. Temos
r''(t)=(-cos t,,-sin t,,0),
r'(t)times r''(t)=(sin t,,-cos t,,1)Longrightarrow|r'times r''|=raizsin^2t+cos^2t+1=raiz2
Como |r'|=raiz2, então
kappa(t)=raiz2(raiz2)^3=raiz22raiz2=12
e isso independe de t.

Passo 6

Em particular, em t=pi/2 temos kappa(pi/2)=1/2.

Resposta

A reparametrização pelo comprimento de arco (com s=0 em t=0) é alpha(s)=(cos(s/raiz2),,sin(s/raiz2),,s/raiz2) e a curvatura em t=pi/2 vale kappa=1/2.

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