Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas nos Exercs. 3 a 10, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada f^prime(z). (Observe que esta derivada, quando existe, é dada por partial f / partial x.)
w=(e^y+e^-y) sen x+(e^y-e^-y) cos x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar as Equações de Cauchy-Riemann para verificar se a função dada é analítica em algum domínio. Se for, também precisamos calcular a derivada dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são as Equações de Cauchy-Riemann e como aplicá-las para checar a analiticidade de uma função complexa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada:
w = (e^y + e^-y) sin x + (e^y - e^-y) cos x cdot i
Aqui, estamos considerando que a função $ w $ é uma função complexa, onde a parte real é $ u(x, y) = \left(e^{y} + e^{-y}\right) \sin x $ e a parte imaginária é $ v(x, y) = \left(e^{y} - e^{-y}\right) \cos x $.

Passo 3

As Equações de Cauchy-Riemann são condições que uma função complexa $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $ precisa satisfazer para ser analítica (ou holomorfa) em um domínio. Essas equações são:
f(z) = u(x, y) + i v(x, y)
partial upartial x = partial vpartial y
Vamos calcular essas derivadas parciais para a nossa função.

Passo 4

Primeiro, calculemos as derivadas parciais de $ u $:
u
  • Derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u(x, y) = (e^y + e^-y) sin x
  • Derivada de $ u $ em relação a $ y $:
u

Passo 5

Agora, calculemos as derivadas parciais de $ v $:
v
  • Derivada de $ v $ em relação a $ x $:
v(x, y) = (e^y - e^-y) cos x
  • Derivada de $ v $ em relação a $ y $:
v

Passo 6

Vamos agora verificar se as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
  1. Primeira equação:
partial upartial x = partial vpartial y (e^y + e^-y) cos x = (e^y + e^-y) cos x
Essa igualdade é verdadeira para todos $ x $ e $ y $.
  1. Segunda equação:
x
Essa igualdade também é verdadeira para todos $ x $ e $ y $.

Passo 7

Como as duas Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo o plano $ \mathbb{C} $, podemos concluir que a função $ w $ é analítica em todo domínio complexo.

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada da função $ f(z) $, que é dada por:
f(z)
Usando as derivadas que já calculamos:
f^prime(z) = partial fpartial x = partial upartial x + i partial vpartial x
Portanto:
partial upartial x = (e^y + e^-y) cos x partial vpartial x = -(e^y - e^-y) sin x

Resposta

A função $ w = \left(e^{y} + e^{-y}\right) \sin x + \left(e^{y} - e^{-y}\right) \cos x \cdot i $ é analítica em todo o domínio complexo, e sua derivada é:
w = (e^y + e^-y) sin x + (e^y - e^-y) cos x cdot i

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