Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas nos Exercs. 3 a 10, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada
. (Observe que esta derivada, quando existe, é dada por
.)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar as Equações de Cauchy-Riemann para verificar se a função dada é analítica em algum domínio. Se for, também precisamos calcular a derivada dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são as Equações de Cauchy-Riemann e como aplicá-las para checar a analiticidade de uma função complexa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada:
Aqui, estamos considerando que a função $ w $ é uma função complexa, onde a parte real é $ u(x, y) = \left(e^{y} + e^{-y}\right) \sin x $ e a parte imaginária é $ v(x, y) = \left(e^{y} - e^{-y}\right) \cos x $.
Passo 3
As Equações de Cauchy-Riemann são condições que uma função complexa $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $ precisa satisfazer para ser analítica (ou holomorfa) em um domínio. Essas equações são:
Vamos calcular essas derivadas parciais para a nossa função.
Passo 4
Primeiro, calculemos as derivadas parciais de $ u $:
- Derivada de $ u $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ u $ em relação a $ y $:
Passo 5
Agora, calculemos as derivadas parciais de $ v $:
- Derivada de $ v $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ v $ em relação a $ y $:
Passo 6
Vamos agora verificar se as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
- Primeira equação:
Essa igualdade é verdadeira para todos $ x $ e $ y $.
- Segunda equação:
Essa igualdade também é verdadeira para todos $ x $ e $ y $.
Passo 7
Como as duas Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo o plano $ \mathbb{C} $, podemos concluir que a função $ w $ é analítica em todo domínio complexo.
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada da função $ f(z) $, que é dada por:
Usando as derivadas que já calculamos:
Portanto:
Resposta
A função $ w = \left(e^{y} + e^{-y}\right) \sin x + \left(e^{y} - e^{-y}\right) \cos x \cdot i $ é analítica em todo o domínio complexo, e sua derivada é: